Üçgenin Yardımcı Elemanları Konu Anlatımı

 

Üçgenin Yardımcı Elemanları

 

Konunun Özetini Okumak İçin Tıklayınız Konuyu İzlemek İçin Tıklayınız Konuyla İlgili Testler İçin Tıklayınız

Konuyla İlgili çıkmış Soru ve Çözümleri İçin Tıklayınız

 

 

Üçgenin Yardımcı Elemanları Konu Anlatımı

İçerik:
Üçgenin İç ve Dış Açıortaylarının Özellikleri
Üçgenin Kenarortayları
Üçgenin Kenar Orta Dikmeleri

 

Üçgenin İç ve Dış Açıortaylarının Özellikleri

 

1. Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin içteğet çemberinin merkezidir.

Açıortayların kesiştiği noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir. (Çemberin yarıçapı)

2. Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin merkezidir. (Üç dış teğet çember vardır.)

[AD], [BD] ve [CD] açıortaylarından herhangi ikisi verildiğinde üçüncüsünün de kesinlikle açıortaydır.

3. iki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninde ve BDC üçgeninde iç açılar toplamı  yazılırsa

 

4. iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninin dış açılar toplamıve BDC üçgeninin iç açılar toplamını yazarsak

5. Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı,

ABC üçgeninin C açısının dış açıortayı ile B açısının iç açıortayı arasındaki açının ölçüsü A açısının ölçüsünün yarısıdır.

  • Burada D noktası dış teğet çemberlerden birinin merkezi olduğundan, A dan çizilen dış açıortayda D noktasından geçer.

6. Açıortayla yükseklik arasında kalan açı; ABC üçgeninde [AD] A açısına ait açıortay ve [AH] yüksekliktir.

Açıortayla yükseklik arasındaki açıya m(HAD) = x dersek

 Bir açı ve açıortayını başka bir doğrunun kestiği durumlarda dış açı özelliği kullanılarak bütün açılar bulunabilir.

 Açıortay Teoremi

 

  • ABC üçgeninde; [BD] ve [CD] iç açıortay ise:

  • ABC üçgeninde [AD] ve [CD] dış açıortay ise:

  • ABC üçgeninde, [BD] iç açıortay ve [CD] dış açıortay ise:

Üçgende İç Açıortay Bağıntısı

Üçgende herhangi iç açıortayın karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, diğer iki kenarın uzunlukları oranına eşittir.


4 Kanki Kuralı:  İkizkenar üçgende, tepe açısına ait açıortay aynı zamanda tabana ait yükseklik ve kenarortaydır. İki özellik varsa diğer ikiside olmak zorundadır.


Üçgende Dış Açıortay Bağıntısı

ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.


Üçgenin İç Teğet Çemberi

Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir. Bu nokta çemberin iç teğet merkezinin çemberidir.


Üçgenin Dış Teğet Çemberi

Üçgende iki dış açıortay ile bir iç açıortayın kesim noktası üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir.

Üçgenin Kenarortayları

Bir üçgende bir köşeyi karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına üçgenin bu kenarına ait kenarortayı denir.

A köşesinden çizilen kenarortay uzunluğu Va ile gösterilir ve şekilde Va = |AF| olur.

B köşesinden çizilen kenarortay uzunluğu Vb ile gösterilir ve şekilde Vb = |BE| olur.

C köşesinden çizilen kenarortay uzunluğu Vc ile gösterilir ve şekilde Vc = |CD| olur.

İki kenarortayın kesiştiği noktadan üçüncü kenarortay da geçer.

Kenarortaylar üçgen içinde bir noktada kesişirler. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve “G” ile gösterilir.

Bir üçgende bir köşeyi karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.

[AD], [BC] kenarına ait kenarortaydır. Va ile gösterilir.


AĞIRLIK MERKEZİ

Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin ağırlık merkezidir. G noktası, ABC üçgeninin ağırlık merkezi olur.

Bir üçgende ağırlık merkezi üçgenin kenarortaylarını 2’ye 1
oranında böler. Yukarıdaki ABC üçgeninde;

  • |AG| =2|GF|, |BG| =2|GD|
  • |CG| =2|GE|’dir.

Bir üçgende iki kenara ait kenarortayın kesim noktası o üçgenin ağırlık merkezi olur. Üçüncü kenara ait olan kenarortay da o noktadan geçmek zorundadır.

Aşağıdaki şekildeki G noktası, [BD] kenarortayını 2’ye 1 oranında böldüğünden üçgenin ağırlık merkezidir.


Aşağıdaki şekildeki doğru parçaları birbirini 2’ye 1 oranında böldüğünden kesişim noktaları olan G üçgenin ağırlık merkezidir.


Aşağıdaki gibi bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.(MUHTEŞEM ÜÇLÜ) ABC dik üçgeninde,|AD| = |DC| = |BD|’dir.

Eğer bir dik üçgende bu üç uzunluktan iki tanesi eşit ise üçüncüsü de eşit olur. Bu üç uzunluğun eşit olduğu üçgenler ise dik üçgen olur.

Aşağıdaki ABC üçgeninde kenarortayların kesiştiği G noktası, ağırlık merkezidir. [FE]’yi çizersek:

  • [FE] // [BC]
  • |GD| = 2x dersek:
    • |AG| = 4x
    • [AK] = [KD] = 3x
    • [KG] = x olur.
  • Aynı zamanda [FE] // [BC] ise, |BC| = 2|FE| olur.

Aşağıdaki üçgende G ağırlık merkezi ise, |AG| = 2|GF|’dir.

  • [ED] // [BC] ise temel orantı teoreminden:
    • |AE| = 2|EB|
    • |AD| = 2|DC| olur.

Aşağıdaki ABC üçgeninde, |AD|=|DB| ve |AE|=|EC| ise,

  • [DE] // [BC]
  • |BC| = 2|DE|’dir.
  • [DE]’ye üçgenin orta tabanı denir.

Detaylı Bilgi:

 

 

Üçgenin Kenar Orta Dikmeleri

Üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasından geçen ve bu kenara dik olan doğru parçasına kenar orta dikme denir.
Üçgenin kenar orta dikmeleri bir noktada kesişir.

Bir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktadır ve bunun karşıtı da doğrudur.

 

2 thoughts on “Üçgenin Yardımcı Elemanları Konu Anlatımı

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir