Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler 8.Sınıf Konu Anlatımı

Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler

 

Konunun Özetini Okumak İçin Tıklayınız Konuyu İzlemek İçin Tıklayınız Konuyla İlgili Testler İçin Tıklayınız

Konuyla İlgili çıkmış Soru ve Çözümleri İçin Tıklayınız

 

Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler

Bu konu 8 sınıfın en çok zorlanılan konusudur. Konu anlatımları okunduktan konu sonra mutlaka konu anlatım videolarını izleyiniz ve çok fazla çözümlü sorular çözerek özdeşlikleri öğrenmeye çalışınız.

Basit Cebirsel İfadeleri Farklı Biçimlerde Yazma,
Cebirsel İfadelerde Çarpma ve Özdeşlikleri Modelleme,
Cebirsel İfadeleri Çarpanlarına Ayırma

 

 

 

 

Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler

İçinde en az bir bilinmeyen bulunan ifadelere cebirsel ifadeler denir.

Cebirsel ifadelerde kullanılan x, y, z, m, n ve k gibi harflere değişken (bilinmeyen) denir.

Değişkenleri ve aynı değişkenlerin kuvvetleri eşit olan terimlere benzer terim denir.

Benzer terimler, kendi arasında ortak çarpan parantezine alınarak toplama ve çıkarma işlemi yapılabilir.

3x – 5, y2 – 2y + 1 ifadeleri cebirsel ifadelerdir. 3x – 5 ifadesindeki değişken “x”, y2 – 2y + 1 ifadesindeki değişken “y”dir.

Bir cebirsel ifadede “+” veya “–” işaretleriyle ayrılan kısımlara terim, her bir terimin sayısal çarpanına katsayı ve hiçbir değişkene bağlı olmayan terime sabit terim denir.

Sabit terimde cebirsel ifadenin bir katsayısıdır.

Örnek:

 

Basit Cebirsel İfadeleri Farklı Biçimlerde Yazma

Cebirsel İfadelerde Çarpma

2 Yöntem kullanabiliriz

  1. Yöntem Modelleme: Bu yöntem daha az kullanılır çarpmanın görsel olarak mantığını anlatması bakımından önemlidir.

Cebirsel ifadelerde model üzerinde çarpma işlemi yapılırken model, kare ve dikdörtgensel parçalara ayrılır.

Her parçanın alanı bulunur ve toplanır.

Örnek:

 

2. Yöntem Teorik Yöntem:

Bir doğal sayı ile cebirsel ifade çarpılırken doğal sayı ile cebirsel ifadenin katsayısı çarpılır, değişkenin önüne katsayı olarak yazılır.

Cebirsel ifadelerde çarpma işlemi yapılırken katsayılar çarpılıp katsayı olarak yazılır.

Aynı değişkenler çarpılırken kuvvetleri toplanır, farklı değişkenler çarpılırken çarpım olarak yazılır.

Benzer terimli olanlar ise toplama veya çıkarma işlemi yapılarak düzenlenir.

Örnek:

 

 

Özdeşlikleri ve Modelleme

Bilinmeyenin her değeri için doğru olan cebirsel ifadelere özdeşlik denir.

Özdeşlik ve Denklem arasındaki fark;

Özdeşlikler, içerdikleri değişkenlere verilecek bütün gerçek sayılar için; denklemler ise bazı gerçek sayı veya sayılar için doğrudur.

Özdeşlikleri bilmek soruları daha hızlı yorumlayıp çözmemizi sağlarlar.

Önemli özdeşlikler;

1. İki Kare Farkı – Toplamı

1) a2 – b2 = (a – b)(a + b)

2) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

3) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab

 

2. İki Küp Farkı – Toplamı

1) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b)

2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b)

3) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

4) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

 

3. n. Dereceden Farkı – Toplamı

1) n bir sayma sayısı olmak üzere,

xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3 y2 + … + xyn – 2 + yn – 1) dir.

 

2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – … – xyn – 2 + yn – 1) dir.

 

4. Tam Kare İfadeler

1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

3) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

4) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)

n bir tam sayı ve a ¹ b olmak üzere,

• (a – b)2n = (b – a)2n

• (a – b)2n – 1 = –(b – a)2n – 1 dir.

 

• (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

 

Cebirsel İfadeleri Çarpanlarına Ayırma

Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya o cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırma denir.

Genellikle 3 yöntem kullanılır.

 

  1. Yöntem:. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

Cebirsel ifadenin her terimindeki ortak çarpanları, parantezin dışına alarak yazmaya ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırma denir.

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.

 

 

2. Yöntem: ÖZDEŞLİKLER

Bu yöntemi kullanmak için özdeşlikleri iyi bilmeniz gerekmektedir.

1. İki Kare Farkı – Toplamı

1) a2 – b2 = (a – b)(a + b)

2) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

3) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab

 

2. İki Küp Farkı – Toplamı

1) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b)

2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b)

3) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

4) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

 

3. n. Dereceden Farkı – Toplamı

1) n bir sayma sayısı olmak üzere,

xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3 y2 + … + xyn – 2 + yn – 1) dir.

 

2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – … – xyn – 2 + yn – 1) dir.

 

4. Tam Kare İfadeler

1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

3) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

4) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)

n bir tam sayı ve a ¹ b olmak üzere,

• (a – b)2n = (b – a)2n

• (a – b)2n – 1 = –(b – a)2n – 1 dir.

 

• (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

 

 

5. (a ± b)n nin Açılımı

Pascal Üçgeni

(a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.

Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.

(a – b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.

• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

• (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4

• (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

 

• a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)

• a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)

• a4 + 4b4 = (a2 + 2ab + 2b2)(a2 – 2ab + 2b2)

 

a3 + b3 + c3 – 3abc =

(a + b + c)(a2 + b2 + c– ab – ac – bc)

 

3. Yöntem:

ax2 + bx + c  BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

ax2 + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır. Biz burada ikisini vereceğiz.

En iyi öğrendiğiniz yöntemi daima kullanarak pratiklik sağlayınız.

 

1. YÖNTEM

1. a = 1 ise,

b = m + n ve c = m × n olmak üzere,

2. a  katysayısı 1 den farklı ise İken

× n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise

ax2 + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.

 

2. YÖNTEM

Çarpımı a × c yi,

toplamı b yi veren iki sayı bulunur.

Bulunan sayılar p ve r olsun.

Bu durumda,

 daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.