Çarpanlar ve Katlar

 

 

Çarpanlar ve Katlar

 

Konunun Özetini Okumak İçin Tıklayınız Konuyu İzlemek İçin Tıklayınız Konuyla İlgili Testler İçin Tıklayınız

 

Konuyla İlgili çıkmış Soru ve Çözümleri İçin Tıklayınız

 

 

Çarpanlar ve Katlar,

Pozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) ile İlgili Problemler

 

 

 

 

Pozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları,

Bir sayıyı kalansız olarak bölebilen sayılara o sayının çarpanları denir. O sayının çarpanları aynı zamanda bölenleridir.

Örneğin; 20 sayısının çarpanları (bölenleri) 1, 2, 5, 10 ve 20’dir.

Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük sayılara asal sayı denir.
En küçük asal sayı 2’dir.

 

 

Bir pozitif tam sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir.

Asal çarpanlar algoritması yöntemi şu şekildedir.

Çarpanlar algoritması:

40 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını ve asal çarpanlarını bularak üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazalım.

 

40’ı 2’ye bölelim, bölüm 20’yi 40’ın altına yazalım.

20’yi 2’ye bölelim, bölüm 10’u 20’nin altına yazalım.

10’u 2’ye bölelim, bölüm 5’i 10’un altına yazalım.

5, 2’ye ve 3’e bölünmediği için 5’e bölelim, bölüm 1’i 5’in altına yazalım.

 

40 sayısının pozitif tam sayı çarpanları 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 ve 40’tır.
40 sayısının asal çarpanları 2 ve 5’tir.

Üslü ifadelerin çarpımı şeklinde ifadesi ise

40 = 2 · 2 · 2 · 5 = 2.5

şeklinde olur.

 

Ağaç Diyagramı yöntemiyle de çarpanlara ayırabiliriz.

54’ü kalansız bölen en küçük asal sayı 2’dir. 54 2 e bölünür , 2’ sola ve sağa bölümden çıkan 27 yazılır.
27 sayısı 2′ e bölünmez o yüzden 27’i kalansız bölen en küçük asal sayı 3 e bölünür. 27, 3’e bölünerek alt satırda sola 3 ve sağa 9 yazılır.
9’u kalansız bölen en küçük asal sayı 3’tür. 9, 3’e bölünerek alt satırda sola ve sağa 3 yazılır.
Asal sayılara ulaşıldığında asal sayı kendisini tekrar eder işlem tüm sayılar asal sayı olduğunda biter. Genellikle 2,3,5,7,11,13,17,19 asal sayıları işlem için yeterli olmaktadır.

54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 54 = 2 · 33

  • 96 sayısını çarpan algoritmasıyla

 

şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.

 

 ASAL SAYILAR

1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısı ile bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayılar denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sayıları 1 ile 20 arasındaki asal sayılardır.

  • 2 den başka çift asal sayı yoktur.
  • 0 ve 1 doğal sayıları asal sayı değildir.
  • Bir sayının asal sayı olup olmadığını anlamak için küçükten büyüğe kendisinden önceki asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol etmemiz gerekir.

 

 

ARALARINDA ASAL SAYILAR

1 den başka pozitif ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.

 

 

BİR DOĞAL SAYIYI ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA

12 sayısının tüm çarpanlarının kümesini yazalım:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Bu çarpanların bazıları asal, bazıları da değildir. Buradan şu sonucu çıkarabiliriz. Doğal sayının çarpanlarından asal olanlarına, bu doğal sayının asal çarpanları denir.

Bir doğal sayı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılabilir.

 

BİR DOĞAL SAYININ BÖLENLERİ (ÇARPANLARI)

Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölen sayma sayılarına, o sayının bölenleri denir.

  • Herhangi bir doğal sayının bölenleri aynı zamanda o sayının çarpanlarıdır. Her doğal sayı, kendi çarpanlarına kalansız bölünür.

 

 

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

Sıfırdan farklı en az iki doğal sayının ortak bölenlerinin en büyük olanına bu sayıların en büyük ortak böleni denir.

Yani ne demek 2 sayı var ve onları bölenler var bunlardan ortak olanlarına bak büyük olan işte o ebob.

A ve B iki doğal sayı olmak üzere bu sayıların en büyük ortak böleni EBOB (A, B) şeklinde gösterilebilir.

  • 20 ve 36 sayılarının bölenlerini inceleyelim.
    20’nin bölenleri 1, 2, 4, 5, 10, 20’dir.
    36’nın bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36’dır.
    20 ve 36’nın ortak bölenleri 1,2 ve 4 olup en büyük ortak bölen 4’tür.
  • E.b.o.b. bulunurken verilen sayıları aynı anda bölen asal sayıların çarpımı bu sayıların e.b.o.b. unu verir.
  • İki veya daha fazla doğal sayının e.b.o.b. u bu sayıların ortak asal çarpanlarının her birine, ayrı ayrı bölünür.

20 ve 36 sayılarının EBOB’unu asal çarpanlar algoritmasından yararlanarak bulalım.

20 ve 36 sayılarının EBOB’unu asal çarpanlar algoritmasından yararlanarak bulalım.

2 ler hem 20 hemde 36 bölerken 3 sadece 9 u 5 sadece 5 bölmüştür ebobta sadece 2 sayıyı aynı anda bölenler alınır ve çarpılır.

Kırmızı ile verilen sayılar iki sayıyı da bölmektedir.

EBOB(20, 36) = 2 · 2 = 4’tür.

 

 

  • 20 ile 30 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.

1. Yol:

20 ve 30 sayılarının bölenlerinden yararlanarak bu sayıların ortak bölenlerini bulalım.

20 sayısının bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20
30 sayısının bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

20 ve 30’un ortak bölenleri: 1, 2, 5 ve 10’dur.

Görüldüğü gibi 20 ve 30’un en büyük ortak böleni (EBOB) 10’dur.

2. Yol:

20 ve 30 sayılarının en büyük ortak bölenini asal çarpanlarının çarpımından yararlanarak
bulalım.
20 = 2 ∙ 2 ∙ 5
30 = 2 ∙ 3 ∙ 5
20 ve 30 sayılarının ortak asal çarpanları 2 ve 5 olduğundan bu sayıların en büyük ortak böleni
2 ∙ 5 = 10 olur.

 

En çok kullanılan yol 3. yoldur.
3. Yol:

Ardışık bölmeyi kullanarak 20 ve 30 sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulalım.

20 ve 30’un ortak asal sayı bölenleri 2 ve 5’tir.

 

20 ve 30, 2’ye kalansız bölünür.
15, 2’ye kalansız bölünemediği için bir alt satıra yazılır.
5, 3’e kalansız bölünemediği için bir alt satıra yazılır

 

Bu durumda 20 ve 30 sayılarının en büyük ortak böleni 2 ∙ 5 = 10’dur.

 

 

 

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir. EKOK şeklinde ifade edilir.

Yani 2 sayının katlarını alıyoruz bu katlardan ortak olan en küçüğüne ekok deniyor.

1.yol:

30 ve 40 sayılarının katlarını yazalım.
30 sayısının katları: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, …
40 sayısının katları: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, …
30 ve 40 sayısının ortak katları: 120, 240, 360, …
Bu durumda 30 ve 40 sayısının en küçük ortak katı 120 olur.

2. yol:

 

30 ve 40 sayılarının en küçük ortak katını ardışık bölmeyi kullanarak bulalım

15, 2’ye kalansız bölünemediği için bir alt satıra yazılır.
15, 2’ye kalansız bölünemediği için bir alt satıra yazılır.
5, 3’e kalansız bölünemediği için bir alt satıra yazılır.

 

Bulduğumuz tüm bölenleri çarptığımızda 30 ile 40 sayılarının en küçük ortak katı

2.2.2.3.5=120

Ebob ta sadece ortak bölenler çarpılırken Ekok da tüm bölenler çarpılır.

 

  • A ile B aralarında asal ise,

 

(A; B)e.b.o.b. = 1

(A; B)e.k.o.k. = A x B dir.

Örneğin; 5 ve 7 aralarında asaldır ebobları 1 ekokları ise 5.7=35 dir.

 

  • Asal sayılar her zaman aralarında asaldır ve ebobları 1 ekokları çarpımlarıdır.

 

 

 

 

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) ile İlgili Problemler

Genelde problemlerde ebob ve ekok hangisi yapılacağı karıştırılmaktadır ama genel olarak bazı ip uçları vardır:

Ebob sorularında bölmek, parçalamak , paylaştırmak kelimeleri geçer ve büyükten küçüğe giden bir sistem vardır.

Yani bir çuval un küçük poşetlere doldurulması, bir arazinin kareye parçalara ayrılması, çevreyi küçük aralıklarla bölmek gibi.

Ekokda ise birleştirmek, bütüne gitmek, katını almak kelimeleri geçer ve küçük parçadan bütüne gidilir.

Yani dikdörtgenlerden kare elde etmek , ortak zaman dilimlerinde buluşmak gibi.

 

 

3 thoughts on “Çarpanlar ve Katlar

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir