Bölme – Bölünebilme Konu Anlatımı

Bölme – Bölünebilme Konu Anlatımı

 

Konunun Özetini Okumak İçin Tıklayınız Konuyu İzlemek İçin Tıklayınız Konuyla İlgili Testler İçin Tıklayınız

 

Konuyla İlgili çıkmış Soru ve Çözümleri İçin Tıklayınız

Bölme ve Bölünebilme Kuralları

 

A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

bölme işleminde,

  • A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
  • A = B × C + K dir.
  • Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
  • Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda A ve K değişmez.
  • K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebilir.

 

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

 

  •  2 İle Bölünebilme

 

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

 

  • 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  • 4 İle Bölünebilme

Son iki rakamı (onlar ve birler basamağı) 00 ya da 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

Son iki rakamının 4 ile bölümünden elde edilen kalan, sayının 4 ile bölümünden elde edilen kalanına eşittir

  •  abc sayısının 4 ile bölümünden kalan  (c + 2 . b)  nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  • 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  •  7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 … a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

olmak üzere,

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +…– … = 7k

olmalıdır.

Sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla; (+1), (+3), (+2), (-1), (-3), (-2), (+1)… sayılarıyla çarpılır. Elde edilen sayıların toplamı 7‘nin tam katı ise bu sayı 7 ile tam bölünüyor demektir.

 

Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, … olan sayının (…a5 a4 a3 a2 a1 a0sayısının) 7 ile bölümünden kalan(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +…– … …

işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

Sekiz basamaklı ABCDEFGH sayısının 7 ile bölümünden kalan,(1.H + 3 × G + 2 × F) – (1.E + 3 × D + 2 × C) + (1.B + 3 × A) işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalandır.

 

  • 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, … olan sayının (… abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan (c + 2 .b + 4 .a )toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  • 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  • 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

 

  • 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

Sayının birler basamağından başlayarak sırayla  +  ile başlanır ve + – + – + – + şeklinde yazılır + olanlar kendi aralarında – olanlar kendi aralarında toplanır ve bu toplamlar birbirinden çıkartılır.

(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… = 11 . k

ve olmalıdır.

Ü (n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0sayısının 11 ile bölümünden kalan(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

  • 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 2 × 3 = 6 ile de tam bölünür.
  • 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 3 × 4 = 12 ile de tam bölünür.

 

  • 4 ve 6 ile tam bölünen sayılar 4 × 6 = 24 ile tam bölünemeyebilir. Çünkü 4 ile 6 aralarında asal değildir.

 

 

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K1 ve

B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.

Buna göre,

  • A × B nin C ile bölümünden kalan K1 × K2 dir.
  • A + B nin C ile bölümünden kalan K1 + K2 dir.
  • A – B nin C ile bölümünden kalan K1 – K2 dir.
  • D × A nın C ile bölümünden kalan D × K1 dir.
  • AE nin C ile bölümünden kalan (K1)E dir.

Yukarıdaki işlemlerde kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

 

D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B × C ile tam bölünür.) doğru olmayabilir.

  • 144 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
  • 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünemez.

 

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = am . bn . ck  olsun.

Bu durumda aşağıdakileri söyleyebiliriz:

  • A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı,

      (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.

  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir.
  • A sayısının tam sayı bölenleri sayısı,2 × (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
  • A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı,
  • A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
  • A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı,   – (a + b + c)   dir.
  • A sayısından küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı,       
  • A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

     

 

 

 

F. ASAL SAYILAR

1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısı ile bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayılar denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sayıları 1 ile 20 arasındaki asal sayılardır.

  • 2 den başka çift asal sayı yoktur.
  • 0 ve 1 doğal sayıları asal sayı değildir.
  • Bir sayının asal sayı olup olmadığını anlamak için küçükten büyüğe kendisinden önceki asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol etmemiz gerekir.

 

 

G. ARALARINDA ASAL SAYILAR

1 den başka pozitif ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.

 

 

H. BİR DOĞAL SAYIYI ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA

12 sayısının tüm çarpanlarının kümesini yazalım:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Bu çarpanların bazıları asal, bazıları da değildir. Buradan şu sonucu çıkarabiliriz. Doğal sayının çarpanlarından asal olanlarına, bu doğal sayının asal çarpanları denir. Bir doğal sayı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılabilir.

 

 

I. BİR DOĞAL SAYININ BÖLENLERİ (ÇARPANLARI)

Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölen sayma sayılarına, o sayının bölenleri denir.

  • Herhangi bir doğal sayının bölenleri aynı zamanda o sayının çarpanlarıdır. Her doğal sayı, kendi çarpanlarına kalansız bölünür.

 

 

J. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = am . bn . ck olsun.

  • A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:

(m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenleridir.

 

 

K. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (E.B.O.B.)

Bir sayı, iki farklı doğal sayının böleni ise, buna doğal sayıların ortak böleni denir.

İki ya da daha fazla sayma sayısının ortak bölenleri arasında en büyük olanına, bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve e.b.o.b. biçiminde gösterilir.

  • E.b.o.b. bulunurken verilen sayıları aynı anda bölen asal sayıların çarpımı bu sayıların e.b.o.b. unu verir.
  • İki veya daha fazla doğal sayının e.b.o.b. u bu sayıların ortak asal çarpanlarının her birine, ayrı ayrı bölünür.

 

 

L. EN KÜÇÜK ORTAK KAT (E.K.O.K.)

Bir sayı iki farklı doğal sayının katı ise, buna doğal sayıların ortak katı denir.

İki ya da daha fazla sayma sayısının ortak katları kümesinin en küçük elemanına, bu sayıların en küçük ortak katı denir ve (e.k.o.k.) biçiminde gösterilir.

  • İki sayma sayısının çarpımı, bu sayıların e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun çarpımına eşittir. Fakat ikiden fazla pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun çarpımına eşit olmayabilir.

 

A x B = (A; B)e.b.o.b. x (A; B)e.k.o.k.
şeklindedir.

  • A ile B aralarında asal ise,

 

(A; B)e.b.o.b. = 1

(A; B)e.k.o.k. = A x B dir.

 

 

  • A ve B sayma sayıları ve A < B olmak üzere;

(A; B)e.b.o.b. £ A < B £ (A; B)e.k.o.k.
şeklindedir.

3 thoughts on “Bölme – Bölünebilme Konu Anlatımı

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir