Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler Konu Anlatımı

Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler Konu Anlatımı

 

Konunun Özetini Okumak İçin Tıklayınız Konuyu İzlemek İçin Tıklayınız Konuyla İlgili Testler İçin Tıklayınız

 

Konuyla İlgili çıkmış Soru ve Çözümleri İçin Tıklayınız

 

Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler Konu Anlatımı

 

Gerçek Sayılar Kümesinde Aralık Kavramı

Sayı doğrusu üzerinde birbirinden farklı iki noktanın arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşan alt kümeye aralık adı verilir. Aralıklar, verilen kümeye uç noktalarının dâhil edilip edilmemesine bağlı olarak adlandırılır.
Aralık gösterimi [a,b], (a,b), [a,b), (a,b] ifadeleri kullanılarak yapılır. Bu gösterimlerdeki a ve b gerçek sayıları birer uç noktadır.

 

Uç noktaların aralığa dâhil edilmediği kümelere açık aralık denir.

A={x | a < x < b ve a, b, x ∈ R } kümesi bir açık aralık belirtir ve (a,b) ile ifade edilir. Sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdaki gibidir.

 

Uç noktaların her ikisinin aralığa dâhil edildiği kümelere kapalı aralık denir.
A={x | a # x # b ve a, b, x ∈ R } kümesi bir kapalı aralık belirtir ve [a,b] ile ifade edilir. Sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdaki gibidir.

 

Uç noktalardan birinin dâhil edilmediği a < x ≤ b veya a ≤ x < b şeklinde ifade edilen kümelere yarı açık aralık denir ve aşağıdaki gibi gösterilir.

[a,b)

(a,b]

 

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

İçerisinde en az bir tane değişken bulunduran iki niceliğin birbirine eşitliğini ifade eden bağıntılara denklem adı verilir.

a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere, a.x + b = 0 biçiminde ifade edilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem, bu denklemi sağlayan x değerine de denklemin kökü denir.

  • Denklem çözümünden elde edilen kök ya da kökler,üzerinde çalışılan sayı kümesinin bir elemanı değilse denklemin çözüm kümesinin elemanı değildir.
  • 0/0  ifadesi belirsizlik belirtir. Payın sıfırdan farklı, paydanın sıfır olduğu durumlar tanımsızlık belirtir.
  • Bir denklemin çözümünden elde edilen kök ya da kökler denklemin ilk hâlinde yerine yazıldığında denklemi doğrulamalıdır. Bu işleme sağlama adı verilir. Denklemi sağlamayan sayılar çözüm kümesine alınmaz.
  • Bir denklemin değişkeni herhangi bir sembol olarak verilebilir. Bu durumda diğer semboller birer sabit sayı olarak düşünülür.

BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0, b ≠ 0 olmak üzere, ax + by + c = 0 biçiminde ifade edilen denklemlere birinci dereceden
iki bilinmeyenli denklemler denir. Denklemi sağlayan (x, y) ikililerinin kümesine denklemin çözüm kümesi denir.

∀ x, y ∈ R için ax + by = 0 eşitliği sağlanıyorsa, a = 0 ve b = 0 olmalıdır.

 

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı gerçek sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik değişmez.
a, b, c birer gerçek sayı olmak üzere a < b ise
a + c < b + c ve a – c < b – c olur.

 

Eşitsizlikler taraf tarafa toplanırken sınır noktalarının her ikisi de dâhil ise toplamları da elde edilen yeni eşitsizliğe dâhil edilir.
Diğer durumlarda ise toplama dâhil edilmez.

 

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif gerçek sayı ile çarpılır ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirmez.
a, b, c birer gerçek sayı ve c > 0 olmak üzere a < b ise a ∙ c < b ∙ c ve

 

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif gerçek sayı ile çarpılır ya da bölünürse
eşitsizlik yön değiştirir.
a, b, c birer gerçek sayı ve c < 0 olmak üzere a < b ise a ∙ c > b ∙ c ve

  • İki eşitsizliğin taraf tarafa toplanması işleminde eşitsizlik yönlerinin aynı olmasına dikkat ediniz.

 

  • a, b, c, d ∈ R+ olmak üzere a < b, c < d ise a ∙ c < b ∙ d olur.

 

  • a ve b aynı işaretli ve sıfırdan farklı iki gerçek sayı olmak üzere

 

Mutlak Değer İçeren Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Eşitsizlikler

Bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerindeki yerinin sıfır noktasına olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir. x gerçek sayısının mutlak değeri “|x|” ile gösterilir.

Mutlak değerin içerisindeki ifadenin gerçek sayı değeri 0 ya da 0 dan büyük ise ifade mutlak değer dışına aynı olarak çıkarılır.

Mutlak değerin içindeki ifadenin gerçek sayı değeri 0 dan küçükse ifade mutlak değer dışına -1 ile çarpılarak çıkarılır. Böylece dışarıya 0 dan büyük çıkması sağlanır.

 

Mutlak Değerin Özellikleri

1. x, y ∈ R olmak üzere çarpım durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerleri çarpımı olarak yazılabilir.
|x ∙ y| = |x| ∙ |y| olur.

2. x, y ∈ R ve y ≠ 0 olmak koşuluyla bölüm durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerlerinin bölümü olarak yazılabilir.

3. x ∈ R olmak üzere |x| = |- x| olur.
Doğruluğu |- x| = |- 1 ∙ x| = |- 1| ∙ |x| = |x| olarak gösterilir.

 

4. x ∈ R ve n ∈ Z+ için |xn|=|x|n olur.

5. İki gerçek sayının toplamının mutlak değeri sayıların ayrı ayrı mutlak değerlerinin toplamından küçük veya eşittir.

Bu durum x, y ∈ R olmak üzere |x + y| ≤ |x| + |y| olarak ifade edilir.

 

Mutlak Değerli Denklemler

|x| = 5 denkleminde x değişkeni 5 ve -5 değerlerini alır.
|x| = -5 denkleminde ise x değişkeni herhangi bir gerçek sayı değeri alamaz.

Bu durumda çözüm kümesi boş kümedir. Bu durumlar aşağıdaki gibi genellenebilir.
x, a ∈ R olmak üzere
• a ≥ 0 için |x| = a ise x = a veya x = – a olur.
• a < 0 için |x| = a ise denklemin çözüm kümesi boş kümedir ve ÇK = Ø olarak yazılır.

 

|x | = 0 ise x = 0 olur.

 

|ax + b | = c denkleminde c < 0 ise denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

 

a ve b gerçek sayıları arasındaki uzaklık k birim ise bu durum |a – b|=k ile gösterilir.

 

a, b ∈ R olmak üzere  |a|+|b|=0 ise a=0 ve b=0   olur.

 

Bir değişken hem mutlak değerin içinde hem de dışında kullanılmışsa bulunan değerler, ilk denklemde yerine yazılarak değerlerin denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir.

 

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

  • x ∈R ve a ∈ R+ olmak üzere |x| ≤ a , – a ≤ x ≤ a olur.

|x| < 0 ise ÇK boş küme olur |x| ≤ 0 ise ÇK = {0} olur.

 

  • x ∈R ve a ∈ R+ olmak üzere |x| ≥ a , x ≥ a veya x ≤ – a olur.

 

  • x ∈R ve a,b ∈ R+ olmak üzere  a ≤ |x| ≤ b , (a ≤ x ≤ b veya – b ≤ x ≤ – a) olur.

 

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler ve Eşitsizlikler

a ≠ 0, b ≠ 0 ve a, b, c ∈ R ; x ile y değişkenler olmak üzere ax+by = c şeklindeki denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler adı verilir. Bu denklemi sağlayan (doğrulayan) x ve y gerçek sayıları ise (x, y) sıralı ikilisi olarak yazılır ve bu sıralı ikiliye denklemin çözüm kümesinin bir elemanı denir.

ax+by = c birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin grafikleri doğru belirtir.

 

a, b, c, d, m ve n gerçek sayılar olmak üzere
ax + by = m
cx + dy = n şeklinde verilen aynı değişkenden oluşan ve birden fazla denklem bulunduran ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi adı verilir.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesini bulmak için yok etme, yerine koyma ve grafik çizimi gibi yöntemler kullanılır.

 

Yok Etme Yöntemi

Denklem sisteminde bilinmeyenlerden herhangi birinin katsayısı diğer denklemdeki aynı bilinmeyenin katsayısıyla mutlak değerce eşit, işaret bakımından ters olacak şekilde düzenlenir. Taraf tarafa toplama yoluyla seçilen değişken yok edilir.

 

Yerine Koyma Yöntemi

Denklem sistemindeki denklemlerin herhangi birinden herhangi bir değişken eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır ve diğer denklemde yerine yazılır.

 

Grafik Yorumu
Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemin çözüm kümesini oluşturan sıralı ikililer analitik düzlemde bir doğru belirtir.
Denklem sistemini oluşturan denklemlerin belirttiği doğruların kesim noktası ya da noktaları bu denklem sisteminin çözüm kümesini oluşturur.

 

  • a, b, c birer gerçek sayı , a ve b sıfırdan farklı olmak üzere
    ax + by ≤ c
    ax + by < c
    ax + by ≥ c
    ax + by > c
    şeklindeki ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler denir.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerde olduğu gibi bu eşitsizliğin çözüm kümesi de (x, y) şeklindeki sıralı ikililerden oluşur. Eşitsizliği doğru yapan sonsuz sayıda sıralı ikili bulunacağından çözüm kümesi analitik düzlemde boyalı bölgeler çizilerek gösterilir.

Doğru grafiğinin kesiksiz (devamlı) çizimi, doğru üzerindeki noktaların çözüm kümesine dâhil olduğu anlamına gelir. Kesikli çizimi ise doğru üzerindeki noktaların çözüm kümesine dâhil olmadığı anlamındadır.

 

3 thoughts on “Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler Konu Anlatımı

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir