Mantık – Konu Anlatımı

Posted on 01 Mart 2013Categories 09. Sınıf Matematik, Mantık, Matematik Konuları, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , ,   Leave a comment on Mantık – Konu Anlatımı

2010 yılından beri ygs de karşımıza çıkmaktadır.

9. sınıf konusudur.

Mantık konusundan son 5 yılda 3 soru gelmiştir.

Önerme = Doğru ya da yanlış , kesin hüküm bildiren ifadelerdir.Önermeler p, q, r gibi ifadelerle gösterilir. Önermenin doğruluğu 1 ile yanlışlığı ise 0 ile gösterilir.

p=1 Doğru Önerme
q=0 Yanlış Önerme anlamına gelmektedir.

Değil = Bir önermede belirtilen olayın tersidir Örneğin 2+5=7 – p önermesi olursa p’nin değili (p’ ile gösterilir) 2+5#7 (eşit değil) dir.

V = veya

L =ve

==> = İse

 <==>= ancak ve ancak anlamına gelir.

Veya İşlemi (V)

Bileşenlerinden en az birisi doğru (1) iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır (0).

Tablo

p q p v q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

 

Ve İşlemi (Λ)

Bileşenlerinin her ikisi de doğru (1) iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır (0).

Tablo

p q p Λ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

Veya ile Ve nin Özellikleri

p,q,r önermeleri için:

1) pvp=p
pΛp=p

2) pvq=qvp değişme özellliği
pvq=qvp

3) (pvq)vr=pv(qvr)
(pΛq)Λr=pΛ (qΛr) birleşme özelliği

4) pv(qΛr)=(pvq) Λ (pvr)
pL (qcr)=(pΛq)v(pΛr) dağılma özelliği

De morgan kuralı

(pvq)’=p’Λq’ aynı özellik diğer durumdada geçerlidir.

Kurallar
1)pv1=1
2)pΛ1=p
3)pv0=p
4)pΛ0=0
5)pvp’=1
6)pΛp’=0
7)pv(pvq)=p

İse İşlemi (==>)

Önermede
P doğru q yanlış ise yanlış diğer durumlarda doğrudur.

Tablo

p q p==>q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Özellikler
1) p ==> p=1

2) p ==> 0=p’

3) p ==> p’=p

4) 0 ==> p=1

6) p ==> 1=1

5) 1 ==> p=p

7) p ==> q=p’vq

Ancak ve Ancak (<==>)

p ile q aynı değerde iken doğru diğer durumlarda yanlıştır.

Tablo

 

p q p<==>q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Özellikler

1)p <==> q=q <==> p değişme özelliği
2)p <==> q=(p<==>q) v (q<==>p)

Kurallar
1.p <==> p=1
2.p <==> p’=0
3.p <==> 1=p
4.p <==> 0=p’

Totoloji: Bir önerme daima 1 çıkıyorsa totolojidir.

Çelişki: Bir önerme daima 0 çıkıyorsa çelişkidir.

Önerme Nedir?
Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere, önerme denir. Önermeler genel olarak p, q, r, s, vb. gibi harşerle gösterilir.
p : “Türkiyenin başkenti Ankara’dır.”
q : “Bir yıl 12 aydır.”
r : “İyi günler.”
s: “Tavuk dört ayaklı bir hayvandır.”

Burada p, q ve s ifadeleri birer önermedir. Çünkü doğru veya yanlış bir hüküm bildirmektedir. r ifadesi ise bir önerme değildir. Kesin olarak, doğru veya yanlış bir hüküm bildirmemektedir.

Önermenin Doğruluk Değeri
Bir önerme doğru ise doğruluk değeri “1” veya “D” ile, önerme yanlış ise doğruluk değeri “0” veya “Y” ile gösterilir.

Bileşik Önermeler
Bu bölümde, “veya”, “ve”, “ise”, “ancak ve ancak” bağlaçlarını kullanarak yeni önermeler oluşturacağız. İki veya daha çok önermenin, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi bağlaçlarla bağlanmasından elde edilen yeni önermelere, bileşik önermeler denir. Bileşik olmayan önermelere de basit önerme denir.

Veya (V) Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler ve Özelikleri
pVq bileşik önermesinde, bileşenlerden en az birisi doğru iken doğru, ikisi de yanlış iken yanlıştır.

Ve (Λ) Bağcı ile Kurulan Bileşik Önermeler ve Özeliği
p Λ q bileşik önermesi, p ve q önermelerinin ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

İse (⇒) Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler:
p ⇒ q bileşik önermesinde, p doğru ve q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.

“Ancak ve Ancak” Bağlacı ile Kurulan İki Yönlü Koşullu Önermeler:
p⇔q iki yönlü koşullu önermesi, p ile q nun doğruluk değerleri aynı iken doğru, farklı iken yanlıştır.

alıntıdır.

Kartezyen ve Bağıntı Matematik Konu Anlatımı

Posted on 13 Aralık 201213 Aralık 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı, Matematik Konuları, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Kartezyen ve Bağıntı Matematik Konu Anlatımı

kartezyen çarpımı
Continue reading “Kartezyen ve Bağıntı Matematik Konu Anlatımı”

İşçi Havuz Problemleri – Çıkmış Sorular

Posted on 03 Mayıs 2012Categories 12. Sınıf Matematik, İşçi - Havuz Problemleri, Matematik Konuları, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları Oku, YGS Matematik Videolu Soru Çözümleri, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , , ,   Leave a comment on İşçi Havuz Problemleri – Çıkmış Sorular

İşçi Havuz Problemleri

 
(2000  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

Continue reading “İşçi Havuz Problemleri – Çıkmış Sorular”

Faiz ve Karışım – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Posted on 03 Mayıs 201203 Mayıs 2012Categories 12. Sınıf Matematik, Faiz Problemleri, Karışım Problemleri, Matematik Konuları, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları Oku, YGS Matematik Videolu Soru Çözümleri, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , ,   Leave a comment on Faiz ve Karışım – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Faiz ve Karışım

(1990  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

Continue reading “Faiz ve Karışım – Çıkmış Soru ve Çözümleri”

Çarpanlara Ayırma Özdeşlikler – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Posted on 25 Ocak 201225 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Çarpanlara Ayırma, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları Oku, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , , , , , , , Çarpanlara Ayırma Özdeşlikler – Çıkmış Soru ve Çözümleri için 8 yorum

Çarpanlara Ayırma Özdeşlikler

(2000  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

  Continue reading “Çarpanlara Ayırma Özdeşlikler – Çıkmış Soru ve Çözümleri”

2. ve 3. Dereceden Denklemler – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Posted on 19 Ocak 201202 Ocak 2013Categories 09. Sınıf Matematik, İkinci Dereceden Denklemler, Konularına Göre Çıkmış ÖSS Soru ve Çözümleri, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları Oku, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , , 2. ve 3. Dereceden Denklemler – Çıkmış Soru ve Çözümleri için 3 yorum

2. ve 3. Dereceden Denklemler

 
(2000  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

Continue reading “2. ve 3. Dereceden Denklemler – Çıkmış Soru ve Çözümleri”

Yaş Problemleri- Çıkmış Soru ve Çözümleri

Posted on 18 Ocak 201217 Nisan 2013Categories Yaş Problemleri, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları Oku, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , , , Yaş Problemleri- Çıkmış Soru ve Çözümleri için 3 yorum

Yaş Problemleri

(2000  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

Continue reading “Yaş Problemleri- Çıkmış Soru ve Çözümleri”

İşlem Sırası Nedir ? İşlem Önceliği

Posted on 18 Ocak 201209 Kasım 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Matematik Konuları, Temel Kavramlar, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , , , , , İşlem Sırası Nedir ? İşlem Önceliği için 4 yorum

Önce en iç parantezden başlanarak dışa doğru hesaplamalar yapılır.

Parantez yoksa soldan sağa doğru aşağıdaki sıralamaya göre işlemler yapılır.

Standart İşlem Sırası

1. Üsler-parantezler

2. çarpma-bölme

3. Toplama-çıkarma

Örnekler

1. (4+28/2)/9=(4+[28/2])/9=[4+14]/9=2 \,
2. 2\times4^2=2\times[4^2]=2\times16=32 \,
3. 8/2\times4=(8/2)\times4=[4\times4]=16 \,
4. 7-2-4+1=[7-2]-4+1=[5-4]+1=[1+1]=2 \,
  • 3 + 2 × 4 işleminin sonucu 11 dir. Çünkü çarpma toplamadan önce yapılır. Amaç önce toplamayı yapmaksa parantez kullanılarak işlem sırası değiştirilir. (3 + 2) × 4 = 20.

 

20:[(+7)-1-(+6)]:(-9) = ?

20:[+6-(+6)]:(-9) = ?

20: 0 : -9 ( 0’a bölüm olmadığı için sonuç yoktur ancak bu şekilde bir 4 işlem bir arada problemlerinde işlem öncelikleri yukarıdaki gibi çözülmelidir. )
ÖRNEK: +6÷2(1+2)=+6÷2x(1+2) =6÷2×3 =9

Kaynak: wikipedi

Piramit, Koni ve Küre

Posted on 12 Ocak 201201 Ekim 2012Categories 09. Sınıf Geometri, Geometri Konuları, Koni, Küre, LYS Geometri, Piramit, YGS Geometri, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , , , , ,   Leave a comment on Piramit, Koni ve Küre
Bu konunun videolu konu anlatımı için tıklayınız
59
  • PİRAMİTLER

Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir.

Continue reading “Piramit, Koni ve Küre”

Noktanın Analitik İncelenmesi – Oku

Posted on 09 Ocak 2012Categories Noktanın Analitik İncelenmesi, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , Noktanın Analitik İncelenmesi – Oku için bir yorum

  • Yukarıdaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan a eğim açısı gösterilmiştir.
  • Doğrunun denklemi:

Bir doğru üzerindeki noktaların koordinatlarını veren eşitliğe doğrunun denklemi denir.

y = mx + n

y = mx + n eşitliğinde m: eğim, n: sabit sayıdır. ax + by + c = 0 şeklinde verilen denklemde y yalnız bırakılırsa

elde edilir

x in katsayısı eğimi verir.

Öyle ise,

ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi

Eğimi eşit olan doğrulara paralel doğrular denir. Doğruların eğimleri arasındaki bağıntıdan daha sonra bahsedeceğiz.

2. İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğim ve Denklemi

a. İki noktası bilinen doğrunun eğimi

Analitik düzlemde A(x1, y1), B(x2, y2) noktaları bilinen d doğrusu üzerinde A, B noktalarının koordinatları kullanılarak oluşturulan ABC üçgeninin A açısı ile d doğrusunun eğim açısı yöndeş açılar olduklarından eşittirler.

Buradan

  • olduğundan
şeklinde de yazılabilir

b. İki noktası bilinen doğrunun denklemi

A(x1, y1), B(x2, y2) noktalarından geçen d doğrusu üzerinde doğruyu oluşturan noktaları temsil eden P(x, y) noktası alalım. Bu üç noktadan herhangi ikisini kullanarak yazacağımız eğimler eşittir. Buna göre,

Bu eşitlik bize iki noktası bilinen doğru denklemini verir.

şeklinde de yazılabilir. Sonuç aynıdır.

  • Orijinden yani O(0,0) noktasından geçen doğrularda x = 0 için y = 0 olacağından

y = mx + n denklemindeki n terimi sıfır olur.

O halde orijinden geçen doğrunun eğimi m ise denklemi

y= mx

Doğru denklemi ax + by + c = 0 şeklinde ise ve orijinden geçiyorsa c = 0 dır.

Doğru denklemi ax + by = 0 olur.

3. Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi

A(x1, y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru denklemi

A(x1, y1) noktası ve P(x, y) noktası kullanılarak yazılan eğim değeri verilen eğime eşitlenir.

4. Eksenlere Paralel Doğruların Denklemi

a. Eksen doğruları

Analitik düzlemde x (apsis) ekseninde bütün noktaların y si (ordinatı) sıfır olduğundan x ekseni aynı zamanda y = 0 doğrusudur.

y (ordinat) ekseni de x = 0 doğrusudur.

b. x eksenine paralel doğrular

y = k doğrusu; y eksenini k noktasında keser, x eksenine paralel ve y eksenine diktir.

c. y eksenine paralel doğrular

x = k doğrusu;

x eksenini k noktasında keser, y eksenine paralel ve x eksenine diktir.

 

5. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğruların Denklemi

x eksenini a noktasında y eksenini de b noktasında kesen doğrunun denklemi

Doğru (a, 0) ve (0, b) noktalarından geçtiğine göre, doğrunun denklemi iki noktadan geçen doğru denklemi özelliği kullanılarak da yazılabilir.

  • Dik koordinat sisteminde apsisleri ordinatlarına eşit olan noktaların oluşturduğu doğruya

    y=x

    doğrusu denir.

 

  • Dik koordinat sisteminde apsisleri ile ordinatları birbirinin ters işaretlisi olan noktaların oluşturduğu doğruya

    y= -x  

    doğrusu denir.

 

  •  y = x ve y = –x doğruları aynı zamanda koordinat eksenlerinin açıortaylarıdır. Koordinat eksenleri ile yaptıkları açılar 45° dir.

6. Doğruların Grafikleri

Doğruların grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur.

x eksenini kestiği nokta için y = 0 ve y eksenini kestiği nokta için x = 0 değerleri alınır.

 

Geometrik Yer – Oku

Posted on 09 Ocak 2012Categories Geometrik Yer, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , ,   Leave a comment on Geometrik Yer – Oku
1. Geometrik Yer Tanımları

  • Düzlemde bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çember belirtir.
  • Düzlemde bir doğrudan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri paralel iki doğrudur.
  • Düzlemde sabit iki noktaya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir doğrudur. (Orta dikme doğrusu)
  • Düzlemde paralel iki doğruya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir doğrudur.
  • Düzlemde doğrusal olmayan sabit üç noktaya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir noktadır.

2. Düzlemde sabit bir d doğrusu ve d doğrusu üzerinde sabit bir P noktası alınıyor.

d doğrusuna a cm ve P noktasına b cm uzaklıktaki noktaların geometrik yeri için,

P noktasına b cm uzaklıktaki noktaları bulmak için P merkezli b cm yarıçaplı çember çizilir.

d doğrusuna a cm uzaklıktaki noktalar d doğrusuna paralel iki doğrudur.

A, B, C, D noktaları d doğrusuna a cm ve P noktasına b cm uzaklıktadırlar.

3. Üçgen Çizimi

  •  Bir kenara ait yükseklik h ise, o kenara h kadar uzaklıktan paralel doğru çizilir.
  •  Bir kenar uzunluğu |AB| kadarsa, A veya B noktasından |AB| yarıçaplı çember çizilir.

a. [AB] ve [BC] kenar uzunluğu ve ha yüksekliği verilen ABC üçgeninin çizilebilmesi için,

[BC] kenarına ha uzaklıktan bir paralel doğru çizersek A köşesi bu doğru üzerinde olmalıdır.

[AB] kenarının uzunluğu bilindiğine göre, A köşesi B merkezli |AB| yarıçaplı çemberin üzerinde olmalıdır. O halde doğru ile çemberin kesiştikleri nokta bu iki şartı sağlayan A noktasıdır.

A noktası B ye ve C ye birleştirilerek ABC üçgeni çizilir.

b. [BC] kenarı, B açısı ve Va kenarortay uzunluğu verilen ABC üçgeninin çizilebilmesi için,

[BC] kenarının orta noktasından Va yarıçaplı çember çizersek, B açısının kolu ile çemberin kesim noktası A köşesini verir. A ve C birleştirilerek ABC üçgeni çizilir.

4. Bir üçgenin belirli olabilme şartları

Bir üçgenin belirli olabilmesi için, en az biri kenar olmak şartıyla üç elemanı bilinmelidir.

a. İki kenarı ve bu iki kenar arasındaki açısı bilinen üçgenler çizilebilir.

[AB], [BC] ve

m(ABC) = a

sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.

b. Üç kenarı bilinen üçgenler.

[AB], [AC] ve [BC] sabit verileriyle bir tek ABC üçgeniçizilebilir.

c. Bir kenarı ve bu kenarın oluşturduğu köşelerdeki açıları bilinen üçgenler.

[AB], m(BAC) = a ve m(ABC) = b sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.

d. İki kenarı ve bu kenarların oluşturduğu açının dışında bir açısı bilinen üçgenler

[AB], [AC] ve m(ABC) = a sabit verileriyle  iki farklı ABC üçgeni çizilebilir.

Şekildeki ABC üçgeninde de görüldüğü gibi verilerde bir değişiklik yapmaksızın aynı verilerle hem ABC üçgeni hem de ABC’ üçgeni çizilebilir.

  • Buradan a>90° olursa birtek üçgen cizilebilir.

Piramit, Dik Koni ve Küre – Oku

Posted on 07 Ocak 201210 Ocak 2012Categories Koni, Küre, Piramit, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , , , , , , , , , , Piramit, Dik Koni ve Küre – Oku için bir yorum

Piramit, Dik Koni ve Küre – Oku

  • PİRAMİTLER

Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir.

T noktası piramidin tepe noktasıdır. Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır. Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır. Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur.

|TH| = h biçiminde yazılır. [TA], [TB], [TC]… piramidin yanal ayrıtlarıdır.

Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır.

 

1.Kare Piramit

Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur.

İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir.

|PH| = h piramidin yüksekliğidir.

Yan yüz yüksekliği |PK| dır.

Tabanının bir kenarına a dersek

Buradan yan yüz yüksekliği

|PK|2 = h2 + ( )2 olur.

Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir.

 

2. Eşkenar Üçgen Piramit

Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.

Taban Alanı olduğundan

3. Düzgün Dörtyüzlü

Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir. Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner.

Bir ayrıtı a olan  düzgün dörtyüzlünün

 Yarı yüz yüksekliği ve
 Cisim yüksekliği  olur

Buradan

4. Düzgün Sekizyüzlü

Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenarüçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir.Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği olur.

Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu

düşünürsek piramitlerin yüksekliği;

olur.

Piramitin hacmi olduğundan;

Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan

5. Düzgün Altıgen Piramit

Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir.

Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.

KONİ

Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir.

Taban alanı = olduğundan

bulunur.  Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur.

KONİ

Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir.

Burada;

Taban yarıçapı |OB| = r

Cisim yüksekliği |PO| = h olur.

|PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru denir.

POB dik üçgeninde,

h2 + r2 = l2 bağıntısı vardır.

Koninin yanal alanı bir daire dilimidir.

Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır. Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan,

Yanal alan= pr2+prl

Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir.

Tüm alan = šr2 + šrl

  •  Daire diliminin merkez açısına a dersek
oranı elde ederiz.
  •  Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir.

 

  •  Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilir.şekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile |BC| yarıçaplı ve yüksekliği |AB| olan koni elde edilir.

Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır.

[O1B] // [O2D] olduğundan

benzerliği vardır.

Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı dir. Alanları

oranı benzerlik oranının

karesi olduğundan, alanlar oranı olur. Hacimler oranı

ise benzerlik oranının küpüdür. r1 yarıçaplı küçük koninin hacmine V1, r2 yarıçaplı büyük koninin hacmine V2 dersek

 

KÜRE

Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir.

O merkezli R yarıçaplı kürede;

Yüzey alanı

1. Küre Dilimi

[KL] çapm(AOB) = a

şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi

2. Küre Kapağı

Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür.

Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir. Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek

|OP|2 + r2 = R2
eşitliği vardır. h = R –|OP|
Küre kapağının alanı= 2pRh

Yandaki şekildeki gibi olan

Küre parçasının haçmi

 

Temel Kavramlar

Posted on 06 Ocak 201209 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Temel Kavramlar, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , ,   Leave a comment on Temel Kavramlar

TEMEL KAVRAMLAR

 

A. SAYI

1. Rakam

Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

 

2. Sayı

Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.

abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.

Her rakam bir sayıdır. Fakat her sayı bir rakam olmayabilir.

 

B. SAYI KÜMELERİ

1. Sayma Sayıları

{1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

 

2. Doğal Sayılar

={0, 1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.

 

3. Pozitif Doğal Sayılar

= {1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir.

Pozitif doğal sayılar kümesi, sayma sayıları kümesine eşittir.

 

4. Tam Sayılar

= {… , – n , … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi : , pozitif tam sayılar kümesi : ve sıfırı eleman kabul eden : {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre, dır.

 

5. Rasyonal Sayılar

a ve b birer tam sayı ve b ¹ 0 olmak koşuluyla biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

biçiminde gösterilir.

 

 

6.Pozitif Doğal Sayılar

Virgülden sonraki kısmı tahmin edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi ile gösterilir.

Buna göre, kümesinin elemanları biçiminde gösterilemez.

(a, b Î ve b ¹ 0)

Hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur.

 

sayıları birer irrasyonel sayıdır.

 

7. Reel (Gerçel) Sayılar

Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir.

biçiminde gösterilir.

 

8. Karmaşık (Kompleks) Sayılar

kümesinin her bir elemanına karmaşık sayı denir.

 

C. SAYI ÇEŞİTLERİ

1. Çift Sayı

olmak koşuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.

Ç = {… , –2n , … , –4, –2, 0, 2, 4, … , 2n , …}

kümesinin elemanlarının her biri çift sayıdır.

 

2. Tek Sayı

olmak koşuluyla 2n + 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.

T = {… , –(2n + 1), … , –3, –1, 1, 3, … , (2n + 1), …} kümesinin elemanlarının her biri tek sayıdır.

 

Ü İki tek sayının toplamı ve farkı çift sayı, çarpımı tek sayıdır.T bir tek sayı olmak üzere,

  • T + T toplamı çift,
  • T – T farkı çift,
  • T × T çarpımı tek

sayıdır.

 

Ü İki çift sayının toplamı, farkı ve çarpımı çift sayıdır.Ç bir çift sayı olmak üzere,

  • Ç + Ç toplamı çift,
  • Ç – Ç farkı çift,
  • Ç × Ç çarpımı çift

sayıdır.

 

Ü Bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı ve farkı tek sayı çarpımı çift sayıdır.T bir tek sayı ve Ç bir çift sayı olmak üzere,

  • T + Ç toplamı tek,
  • Ç + T toplamı tek,
  • T- Ç farkı tek,
  • Ç – T farkı tek,
  • T × Ç çarpımı çift

sayıdır.

 

Ü Tam sayılar kümesinde, bir çarpımın sonucu çift ise, çarpanlardan en az biri çift sayıdır.
Ü Tam sayılar kümesinde, bir çarpımın sonucu tek ise, çarpanlardan her biri tek sayıdır.
Ü Çift sayıların tüm pozitif tam kuvvetleri yine bir çift sayıdır. Buna göre, n pozitif tam sayı ve Ç bir çift sayı olmak üzere, Çn nin sonucu daima çift sayıdır.
Ü Tek sayıların tüm doğal sayı kuvvetleri yine bir tek sayıdır. Buna göre, n bir doğal sayı ve T bir tek sayı olmak üzere, Tn nin sonucu daima tek sayıdır.

Bölme işlemi için yukarıdaki biçimde bir genelleme yapılamaz.

  • Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur.
  • Hem tek hem de çift olan bir sayı yoktur.
  • Sıfır (0) çift sayıdır.

 

3. Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir.

Ü a < b < 0 < c < d  olmak üzere,
  • a, b negatif sayılardır.
  • c, d pozitif sayılardır.
  • İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)
  • İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)
  • Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.
  • Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.
  • Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.
  • Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.
  • Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.
  • Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.
  • Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

 

4. Asal Sayı

Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sayıları birer asal sayıdır.

  • En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.
  • Asal sayıların çarpımı asal değildir.

Asal olmayan, 1 den büyük tam sayılara bileşik sayı denir.

 

5. Aralarında Asal

Ortak bölenlerinin en büyüğü 1 olan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.

a ile b aralarında asal ise, oranı en sade biçimdedir.

 

D. ARDIŞIK SAYILAR

Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.

Ü n bir tam sayı olmak üzere,

  • Ardışık dört tam sayı sırasıyla;

n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.

  • Ardışık dört çift sayı sırasıyla;

2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.

  • Ardışık dört tek sayı sırasıyla;

2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.

  • Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;

3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

 

Bazı Ardışık Sayıların Toplamı

n bir sayma sayısı olmak üzere,

  • l Ardışık sayma sayılarının toplamı
  • Ardışık pozitif çift doğal sayıların toplamı

2 + 4 + 6 + … + (2n) = n(n + 1)

  • Ardışık tek doğal sayıların toplamı

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

  • Artış miktarı eşit olan ardışık tam sayıların toplamı

r : İlk terim

n : Son terim

x : Artış miktarı olmak üzere,

olur.

Artış miktarı eşit olan ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir.

Sayı Sistemleri

Posted on 06 Ocak 201209 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Basamak Kavramı, Sayı Sistemleri, Taban Arritmetiği, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , , , ,   Leave a comment on Sayı Sistemleri

SAYI SİSTEMLERİ

 

A. SAYI BASAMAĞI

Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.

Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır.
243 üç basamaklı bir sayıdır.

 

B. ÇÖZÜMLEME

Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir.

Basamak değerlerinin toplamına o sayının çözümlenmiş biçimi denir.

Üç basamaklı abc sayısı aşağıda çözümlenmiştir.

  • ab = 10 × a + b
  • abc = 100 × a + 10 × b + c
  • aaa = 111 × a
  • ab + ba = 11 × (a + b)
  • ab – ba = 9 × (a – b)
  • abc – cba = 99 × (a – c)
  • abcd = cd + 100 × ab = bcd + 1000 × a

 

C. TABAN

Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir.

T taban olmak üzere,

(abcd)T = a × T3 + b × T2 + c × T + d dir.

Burada,

  • T, 1 den büyük doğal sayıdır.
  • a, b, c, d rakamları T den küçüktür.
  • Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir.
  • (abc,de)T = a × T2 + b × T + c + d × T–1 + e × T–2 dir.

 

1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi

Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.

Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.

 

2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi

Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir.

 

3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması

Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür.

 

4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri

Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.

T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.

Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basa-maktaki rakam 1 azalır.

 

Bölme – Bölünebilme

Posted on 06 Ocak 201209 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Bölme ve Bölünebilme, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Bölme – Bölünebilme

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

 

A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

bölme işleminde,

  • A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
  • A = B × C + K dir.
  • Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
  • Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda A ve K değişmez.
  • K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebilir.

 

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

 

  •  2 İle Bölünebilme

 

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

 

  • 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  • 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

… abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

  • … abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  • 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  •  7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 … a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

olmak üzere,

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +…– … = 7k

olmalıdır.

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, … olan sayının (…a5 a4 a3 a2 a1 a0sayısının) 7 ile bölümünden kalan(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +…– … …

işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

Sekiz basamaklı ABCDEFGH sayısının 7 ile bölümünden kalan,(H + 3 × G + 2 × F) – (E + 3 × D + 2 × C) + (B + 3 × A) işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalandır.

 

  • 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, … olan sayının (… abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 × b + 4 × a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  • 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  • 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

 

  • 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… = 11 . k

ve olmalıdır.

Ü (n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0sayısının 11 ile bölümünden kalan(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

  • 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 2 × 3 = 6 ile de tam bölünür.
  • 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 3 × 4 = 12 ile de tam bölünür.

 

  • 4 ve 6 ile tam bölünen sayılar 4 × 6 = 24 ile tam bölünemeyebilir. Çünkü 4 ile 6 aralarında asal değildir.

 

 

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K1 ve

B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.

Buna göre,

  • A × B nin C ile bölümünden kalan K1 × K2 dir.
  • A + B nin C ile bölümünden kalan K1 + K2 dir.
  • A – B nin C ile bölümünden kalan K1 – K2 dir.
  • D × A nın C ile bölümünden kalan D × K1 dir.
  • AE nin C ile bölümünden kalan (K1)E dir.

Yukarıdaki işlemlerde kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

 

D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B × C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B × C ile tam bölünür.) doğru olmayabilir.

  • 144 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
  • 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünemez.

 

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = am . bn . ck  olsun.

Bu durumda aşağıdakileri söyleyebiliriz:

  • A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı,

      (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.

  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir.
  • A sayısının tam sayı bölenleri sayısı,2 × (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
  • A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı,
  • A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
  • A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı,– (a + b + c) dir.
  • A sayısından küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı,
  • A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

     

 

EBOB – EKOK

Posted on 06 Ocak 201209 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, EBOB-EKOK, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , , , ,   Leave a comment on EBOB – EKOK

A. ASAL SAYILAR

1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısı ile bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayılar denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sayıları 1 ile 20 arasındaki asal sayılardır.

  • 2 den başka çift asal sayı yoktur.
  • 0 ve 1 doğal sayıları asal sayı değildir.
  • Bir sayının asal sayı olup olmadığını anlamak için küçükten büyüğe kendisinden önceki asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol etmemiz gerekir.

 

 

B. ARALARINDA ASAL SAYILAR

1 den başka pozitif ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.

 

 

C. BİR DOĞAL SAYIYI ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA

12 sayısının tüm çarpanlarının kümesini yazalım:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Bu çarpanların bazıları asal, bazıları da değildir. Buradan şu sonucu çıkarabiliriz. Doğal sayının çarpanlarından asal olanlarına, bu doğal sayının asal çarpanları denir. Bir doğal sayı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılabilir.

 

 

D. BİR DOĞAL SAYININ BÖLENLERİ (ÇARPANLARI)

Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölen sayma sayılarına, o sayının bölenleri denir.

  • Herhangi bir doğal sayının bölenleri aynı zamanda o sayının çarpanlarıdır. Her doğal sayı, kendi çarpanlarına kalansız bölünür.

 

 

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = am . bn . ck olsun.

  • A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:

(m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenleridir.

 

 

F. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (E.B.O.B.)

Bir sayı, iki farklı doğal sayının böleni ise, buna doğal sayıların ortak böleni denir.

İki ya da daha fazla sayma sayısının ortak bölenleri arasında en büyük olanına, bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve e.b.o.b. biçiminde gösterilir.

  • E.b.o.b. bulunurken verilen sayıları aynı anda bölen asal sayıların çarpımı bu sayıların e.b.o.b. unu verir.
  • İki veya daha fazla doğal sayının e.b.o.b. u bu sayıların ortak asal çarpanlarının her birine, ayrı ayrı bölünür.

 

 

G. EN KÜÇÜK ORTAK KAT (E.K.O.K.)

Bir sayı iki farklı doğal sayının katı ise, buna doğal sayıların ortak katı denir.

İki ya da daha fazla sayma sayısının ortak katları kümesinin en küçük elemanına, bu sayıların en küçük ortak katı denir ve (e.k.o.k.) biçiminde gösterilir.

 

  • İki sayma sayısının çarpımı, bu sayıların e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun çarpımına eşittir. Fakat ikiden fazla pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun çarpımına eşit olmayabilir.

 

A x B = (A; B)e.b.o.b. x (A; B)e.k.o.k.
şeklindedir.

 

  • A ile B aralarında asal ise,

 

(A; B)e.b.o.b. = 1

(A; B)e.k.o.k. = A x B dir.

 

  • A ve B sayma sayıları ve A < B olmak üzere;

(A; B)e.b.o.b. £ A < B £ (A; B)e.k.o.k.
şeklindedir.

Rasyonel Sayılar

Posted on 06 Ocak 201209 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Rasyonel Sayılar, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Rasyonel Sayılar

RASYONEL SAYILAR

 

A. TANIM

a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı denir.

 

 

B. KESİR

Bir birimin bölündüğü eşit parçalardan birini veya bir kaçını göstermeye yarıyan sayılara kesir denir.

C. KESİR ÇEŞİTLERİ

1. Basit Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

 

Aşağıdaki sayı doğrusunda koyu ve kalın çizgi ile gösterilen noktalara karşılık gelen sayılar basit kesirdir.

pozitif basit kesir ise,

     

 

2. Bileşik Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

Aşağıdaki sayı doğrusunda koyu ve kalın çizgi ile gösterilen noktalara karşılık gelen sayılar bileşik kesirdir.

 

3. Tam Sayılı Kesir

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

birer tam sayılı kesirdir.

 

Her bileşik kesir bir tam sayılı kesir biçiminde yazılabilir.

 

 

D. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme

kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, çarpıldığında veya bölündüğünde kesrin değeri değişmez. Bu işleme kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi denir.

     

 

2. Denk Kesirler

kesrinin genişletilmesi veya sadeleştirilmesiyle ye eşit pek çok kesir elde edilebilir. Bu kesirler ye denktir denir. kesri, kesrine denk ise, biçiminde yazılır, “a bölü b kesri c bölü d kesrine denktir” diye okunur.

Her denk kesir aynı zamanda eşittir. Buna göre,

     

 

3. Toplama – Çıkarma İşlemi

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

 

 

4. Çarpma – Bölme İşlemi

 

5. İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.

2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.

3) Çarpma – bölme yapılır.

4) Toplama – çıkarma yapılır.

Toplama ile çıkarma işlemi kendi arasında öncelik taşımaz. Aynı şekilde çarpma ile bölme işlemi de kendi arasında öncelik taşımaz. Özelikle çarpma ile bölme de öncelik söz konusu ise bu parantezle belirlenmiştir.

 

 

E. ONDALIK KESİR

1. Ondalık Kesir

Bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde bu rasyonel sayının ondalık açılımını buluruz. Bu ondalık açılıma ondalık kesir denir.

Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir.

 

2. Devirli (Periyodik) Ondalık Kesir

Bir ondalık kesirde ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık kesir denir.

 

3. Ondalık Kesirlerde İşlemler

a. Toplama – Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama – çıkarma işleminde olduğu gibi toplama – çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.

b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak bölme işlemi yapılır.

 

4. Devirli Ondalık Kesirlerin Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

Bir devirli ondalık açılımı şeklinde yazarken;

Virgül ve devreden dikkate alınmadan; okunan sayıdan, devretmeyen sayıyı çıkararak paya yazılır.

Paydaya ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak sayısı kadar sıfır yazılır.

a, b, c, d, e birer rakam olmak üzere,

Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır.

 

 

F. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.

1. Yol

Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

2. Yol

Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.

3. Yol

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, pozitif basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.

Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.

a ve n doğal sayı olsun.

n sabit iken a büyüdükçe basit kesrinin değeri artar.

 

a ve n doğal sayı olsun.n sabit iken a büyüdükçe bileşik kesrinin değeri azalır.

 

 

G. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR

arasında sayılamıyacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin e.k.o.k. u bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan e.k.o.k. da eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.

Ü kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,

 

Sıralama

Posted on 06 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Sıralama, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags   Leave a comment on Sıralama

SIRALAMA

 

A. TANIM

a, b ye eşit değilse, “a ¹ b” biçiminde yazılır.

a ¹ b ise bu durumda;

a > b, “a büyüktür b den” ya da

a < b, “a küçüktür b den” olur.

Gerçel (reel) sayı ekseninde herhangi bir sayının sağında bulunan sayılar daima o sayıdan büyük, solunda bulunan sayılar da o sayıdan küçüktür.

Yukarıdaki sayı doğrusuna göre; a < b < c dir.

x > y, x ³ y, x < y ve x £ y şeklindeki ifadelere eşitsizlik denir.

 

B. SIRALAMANIN ÖZELİKLERİ

x, y, a, b reel (gerçel) sayılar olmak üzere,

  1. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.

    •  a < b  ise  a + c < b + c  dir.

    •  a < b  ise  a – c < b – c  dir.

     

  2. Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir reel sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü aynı kalır.

    •  a < b  ve  c > 0  ise  a × c < b × c  dir.

    •  a < b  ve  c > 0  ise dir.

     

  3. Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir reel sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

    •  a < b  ve  c < 0  ise  a × c > b × c  dir.

    •  a < b  ve  c < 0  ise dir.

     

  4. Eşitsizliklerde geçişme özeliği vardır.

(x < y ve y < z) ise x < z dir.

  1. Aynı yönlü eşitsizlikler, taraf tarafa toplanabilir; fakat çıkarılamaz.

(x < y ve a < b) ise x + a < y + b dir.

  1. x ile y aynı işaretli olmak üzere,

  1. x ile y zıt işaretli olmak üzere,

  2. ve  0 < a < b ise an < bn  dir.
  3. ve a < b < 0  olsun.

n çift sayma sayısı ise an > bn dir.

n tek sayma sayısı ise an < bn dir.

  1. – {1} olmak üzere,

    •  a > 1 ise, an > a  dır.

    •  0 < a < 1 ise, an < a  dır.

    •  – 1 < a < 0  ise,  an > a  dır.

  1. (0 < a < b ve 0 < c < d) ise,

0 < a × c < b × d

f(x) < g(x) < h(x) eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi;

f(x) < g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi ile g(x) < h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesinin kesişimidir.

 

•  a × b < 0  ise  a ile b ters işaretlidir.

•  a × b > 0  ise  a ile b aynı işaretlidir.

 

 

C. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI

1. Kapalı Aralık

a ile b reel sayılar ve a < b olsun.

a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel sayıları içine alan küme,

[a, b] veya a £ x £ b , x Î şeklinde gösterilir ve bu şekilde tanımlanan aralıklara kapalı aralık denir.

 

2. Açık Aralık

a, b Î ve a < b olsun.

[a, b] kapalı aralığının uç noktalarının ikisi de bu aralıktan çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa açık aralık denir.

Açık aralık, x Î olmak üzere, (a, b) biçiminde ya da a < x < b biçiminde gösterilir.

 

3. Yarı Açık Aralık

a, b Î ve a < b olsun.

[a, b] kapalı aralığının uç noktalarından biri çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa yarı açık aralık denir.

[a, b] kapalı aralığından b noktası çıkarılırsa [a, b) veya x Î olmak üzere,

a £ x < b yarı açık aralığı elde edilir.

[a, b] kapalı aralığından a noktası çıkarılırsa (a, b] veya x Î olmak üzere, a < x £ b yarı açık aralığı elde edilir.

[a, b] aralığının uzunluğu, b – a dır.

 

Mutlak Değer

Posted on 06 Ocak 201209 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Mutlak Değer, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , ,   Leave a comment on Mutlak Değer

MUTLAK DEĞER

 

A. TANIM

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.

|x| biçiminde gösterilir.

Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| ³ 0 dır.

 

 

B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELİKLERİ

  1. |x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.
  2. |x × y| = |x| × |y|
  3. |xn| = |x|n
  4. y ¹ 0 olmak üzere,

  1. |x| – |y| £ |x + y| £ |x| + |y|
  2. a ³ 0 ve x Î olmak üzere,

|x| = a ise, x = a veya x = –a dır.

  1. |x| = |y| ise, x = y veya x = –y dir.
  2. x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

      |x – a| + |x – b|

ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.

  1. x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve

      K = |x – a| – |x – b|

olmak üzere,

x = a için K nin en küçük değeri, x = b için K nin en büyük değeri bulunur.

  1. a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

a) |x| < a ise, –a < x < a dır.

b) |x| £ a ise, –a £ x £ a dır.

  1. a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

a) |x| > a ise, x < –a veya x > a dır.

b) |x| ³ a ise, x £ –a veya x ³ a dır.

  • a < b ve c Î olmak üzere,

      |x + a| + |x + b| = c

eşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.

 

1. Yöntem

Mutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.

x + a = 0 ise, x = –a dır.

x + b = 0 ise, x = –b dir.

Buna göre, üç durum vardır. (–b < –a olsun.)

–b £ x, –b < x £ –a ve x > –a dır. Bu üç durumda inceleme yapılır.

1. Durum

–b £ x ise, –x – a – x – b = c olur. Bu denklemin kökü –b £ x koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

2. Durum

–b < x £ –a ise, –x – a + x + b = c olur.

Bu denklemin kökü –b < x £ –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3. Durum

x > –a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme, verilen denklemin çözüm kümesidir.

 

2. Yöntem

a < b ve c elemanı olmak üzere,

|x + a| + |x + b| = c … ()

eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.

(x + a = 0 ise, x = –a) ve (x + b = 0 ise, x = –b)

  1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c ye eşit ise,

() daki denklemin çözüm kümesi,

Ç = [–b, –a] dır.

  1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den büyük ise,

() daki denklemin çözüm kümesi,

Ç = Æ dir.

  1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den küçük ise,

() daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için, c den, sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık çıkarılır, farkın yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre, () daki denklemi sağlayan sayılardan biri –b – D diğeri –a + D dir. Bu durumda () daki denklemin çözüm kümesi,

Ç {–b – D, –a + D} olur.

Köklü İfadeler

Posted on 06 Ocak 201206 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Köklü Sayılar, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags ,   Leave a comment on Köklü İfadeler

KÖKLÜ İFADELER

 

A. TANIM

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

xn = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n yinci dereceden kökü denir.

 

B. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELİKLERİ

 1) n tek ise, daima reeldir.

 2) n çift ve a < 0 ise, reel sayı belirtmez.

 3) a ³ 0 ise, daima reeldir.

 4) a ³ 0 ise,

 5) n tek ise,

 6) n çift ise,

7)

8)  n çift ve b ile c aynı işaretli olmak üzere,

 9)  n tek ise,

 

10) a, pozitif reel (gerçel) sayı olmak üzere,

11) k pozitif tam sayı ve a pozitif gerçel sayı olmak üzere;

12) (a ¹ 0 ve b ¹ 0)  ise 
C. KÖKLÜ İFADELERDE YAPILAN İŞLEMLER

1. Toplama – Çıkarma İşlemi

Kök dereceleri birbirine eşit ve kök içindeki sayılar da birbirine eşit olan ifadelerin kat sayıları toplanır ya da çıkarılır. Bulunan sonuç köklü ifadenin kat sayısı olur.

 

2. Çarpma İşlemi

n ve m, 1 den büyük tek sayı ya da a ve b negatif olmamak üzere,

 

3. Bölme İşlemi

Uygun koşullarda,

 

4. Paydayı Kökten Kurtarma

Uygun koşullarda,

 

D. İÇ İÇE KÖKLER

 

E. SONSUZ KÖKLER

Yukarıdaki son iki özelikte a, ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı ise; 5. nin cevabı bu sayıların büyüğü, 6. nın cevabı bu sayıların küçüğüdür.

 

F. KÖKLÜ İFADELERDE SIRALAMA

Kök dereceleri eşit olan (ya da eşitlenen) pozitif sayılarda, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır.