Üçgenlerde Uzunluk

Posted on 17 Ocak 201216 Ocak 2012Categories Geometri Konuları, Üçgenlerde Uzunluk, YGS Geometri, YGS Geometri Konuları OkuTags , , , , , , , ,   Leave a comment on Üçgenlerde Uzunluk

  • DİK ÜÇGEN
Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır.şekilde, m(A) = 90°

[BC] kenarı hipotenüs

[AB] ve [AC] kenarları

dik kenarlardır.

 

  • PİSAGOR BAĞINTISI
Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.ABC üçgeninde  m(A) = 90°

a2=b2+c2
  • ÖZEL DİK ÜÇGENLER

1. (3 – 4 – 5) Üçgeni

Kenar uzunlukları  (3 – 4 – 5) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 – 8 – 10), (9 – 12 – 15), … gibi

2. (5 – 12 – 13) Üçgeni

Kenar uzunlukları (5 – 12 – 13) sayıları ve bunların katı olan bütün  üçgenler dik üçgenlerdir.  (10 – 24 – 26), (15 – 36 – 39), … gibi.
 Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.
Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

3. İkizkenar dik üçgen

ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a  |AC| = aÖ2 

m(A) = m(C) = 45° İkizkenar dik üçgende

hipotenüs dik kenarların Ö2 katıdır.

4. (30° – 60° – 90°) Üçgeni

ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde

ABH ve ACH (30° – 60° – 90°)

üçgenleri elde edilir.

|AB| = |AC| = a

|BH| = |HC| = 
pisagordan  
(30° – 60° – 90°) dik üçgeninde; 30°’nin karşısındaki kenarhipotenüsün yarısına eşittir. 60° nin karşısındaki kenar,

30° nin karşısındaki kenarın Ö3 katıdır.

5. (30° – 30° – 120°) Üçgeni(30° – 30° – 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar aÖ3  olur.
6. (15° – 75° – 90°) Üçgeni (15° – 75° – 90°) üçgeninde

hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs 

|BC| = 4h olur.  Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört

katıdır.

  • ÖKLİT BAĞINTILARI
Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır.

1. Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.

h2 = p.k
2.
b2 =  k.a
c2 = p.a

3. ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde

a.h =b.c

  • Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak  elde edilir.

    Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz.

 

  • İKİZKENAR ÜÇGEN
İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.
1. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.|AB| = |AC|

|BH| = |HC|

m(B) = m(C)

2. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.|AB| = |AC|,

[AH] ^ [BC]

m(B) = m(C)

3. Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.|AB| = |AC|

m(BAH) = m(HAC)

m(B) = m(C)

İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.
4. İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur.
5. İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.
6. İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.
7. İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir. 

|AB| = |AC| Þ    |LC| = |HP| + |KP|
8. İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir.

EŞKENAR ÜÇGEN

1. Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc 
2. Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük seklik  Bu durumda eşkenar üçgenin alanı 

yükseklik cinsinden alan değeri

Alan(ABC) = 

3. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir.Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;

 

4. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.

Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde

Üçgenler

Posted on 16 Ocak 201209 Mayıs 2014Categories Geometri Konuları, Üçgenler, YGS Geometri, YGS Geometri Konuları OkuTags , , , , , , ,   Leave a comment on Üçgenler
  • ÜÇGEN
  • Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir.

    AB] È[AC]È [BC] = ABC dir.

    Burada;

    A, B, C noktaları üçgenin

     köşeleri,

    [AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin

     kenarlarıdır.

    BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır.

    |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c

    uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir. 

     

    ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi, iç bölge, dış bölge, olmak üzere üç  bölgeye ayırır. ABC È {ABC iç bölgesi} = (ABC) (üçgensel bölge)
    • ÜÇGEN ÇEŞiTLERi

    1. Kenarlarına göre üçgen çeşitleri

    a. Çeşitkenar üçgen 

    Üç kenar uzunlukları da farklı olan üçgenlere denir.

    b. ikizkenar Üçgen 

    Herhangi iki kenar uzunluklarıeşit olan üçgenlere denir.

    c. Eşkenar Üçgen 

    Üç kenar uzunluklarıda eşit olan üçgenlere denir.

    2. Açılarına göre üçgenler

    a. Dar açılı üçgen 

    Üç açısının ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılıüçgen denir.

    b. Dik açılı üçgen 

    Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir. 

    Dik üçgen olarak adlandırılır.

    c. Geniş açılı üçgen 

    Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir.

    Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir.

    • ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI  ELEMANLARI

    Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına yardımcı elemanlar denir.

    1. Yükseklik 

    Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.

    ha   ®   a kanarına ait yükseklik.

    hc   ®   c kenarına ait yükseklik

    yüksekliklerin kesim noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir.

    2. Açıortay

    Üçgenin bir köşesindeki açıyıiki eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayıdenir.

    nA  ®  A köşesine ait iç açıortay

    n‘A ®   A köşesine ait dış açıortay

    3. Kenarortay

    Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.

    |AD| = Va , |BE| = Vb  olarak ifade edilir.

    Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

    |BC| = a (hipotenüs) 

    ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ

    1. Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı180° dir.

    [AD // [BC] olduğundan,

    iç ters ve yöndeş olan açılar bulunur.

    a + b + c = 180°

    m(A) + m(B) + m(C) = 180°

    Üçgenin iç açılarının toplamı180° dir.

    İç açılara komşu ve bütünler olan açılara dış açı denir.

    2. Üçgende dış açıların ölçüleri toplamı360° dir.

    a’ + b’ + c’ = 360°

    m(DAF)+m(ABE)+m(BCF)=360°

    3. Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

    [AB] // [CE olduğundan

    m(ACD)=a+b

    m(DAC) = m(A’) = b + c

    m(DBE) = m(B’) = a + c

    m(ECF) = m(C’) = a + b

    Yandaki şekilde a, b, c bulundukları açıların ölçüleri ise,

     

    m(BDC) = a+b+c

    4. iki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen denir.ABC üçgeninde:

     

    lABl=lACl Ûm(B)=m(C)

    Burada A açısına ikizkenar üçgenin tepe açısı, [BC] kenarına ise tabanıdenir.

    Tepe açısına m(BAC) = a dersek

    Taban açıları

     

    5. Üç kenarıeş olan üçgene eşkenar üçgen denir.

    ABC üçgeninde

    |AB| = |BC| = |AC|

    m(A) = m(B) = m(C) = 60°

    Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini taşır.

    • ÜÇGENDE AÇIORTAYLAR

    1. Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin içteğet çemberinin merkezidir.

    Açıortayların kesiştiği noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarıeşittir. (Çemberin yarıçapı)

    2. Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin merkezidir. (Üç dış teğet çember vardır.)

    [AD], [BD] ve [CD] açıortaylarından herhangi ikisi verildiğinde üçüncüsünün de kesinlikle açıortaydır.

    3. iki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninde ve BDC üçgeninde iç açılar toplamı  yazılırsa

     

    4. iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninin dış açılar toplamıve BDC üçgeninin iç açılar toplamını yazarsak

    5. Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı,

    ABC üçgeninin C açısının dış açıortayı ile B açısının iç açıortayı arasındaki açının ölçüsü A açısının ölçüsünün yarısıdır.

    • Burada D noktası dış teğet çemberlerden birinin merkezi olduğundan, A dan çizilen dış açıortayda D noktasından geçer.

    6. Açıortayla yükseklik arasında kalan açı; ABC üçgeninde [AD] A açısına ait açıortay ve [AH] yüksekliktir.

    Açıortayla yükseklik arasındaki açıya m(HAD) = x dersek

     Bir açı ve açıortayını başka bir doğrunun kestiği durumlarda dış açı özelliği kullanılarak bütün açılar bulunabilir.

     

    Üçgenlerde Açı-Kenar Bağıntısı

    Posted on 16 Ocak 2012Categories Geometri Konuları, Üçgenlerde Açı-Kenar Bağıntısı, YGS Geometri, YGS Geometri Konuları OkuTags , , ,   Leave a comment on Üçgenlerde Açı-Kenar Bağıntısı

    Üçgenlerde Açı-Kenar Bağıntısı

    1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür.

    ABC  üçgeninde  m(A) > m(B) > m(C)
                                     a  >     b     >      c

    Terside geçerlidir. Uzun kenarı gören açı kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür.

    İkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit açıların karşılarındaki kenarlar eşittir.

    m(B) = m(C) => |AB| = |AC|

    m(A) < m(B) = m(C) ise

    |BC| < |AB| = |AC| olur.

    •  Bir üçgende bir tane geniş açı olabileceğinden geniş açının karşısındaki kenar daima en büyük kenar olur.
    2. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük farkının mutlak değerinden büyüktür.ABC üçgeninde 

    lb – c l <a < (b + c)

    Diğer kenarlar için de aynı durum geçerlidir.

    |a – c| < b < (a + c) ve |a – b| < c < (a + b) olur.

    3. Dik, dar ve geniş açılı üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiler.a. Bir dik üçgende

    kenarlar arasında

    a2 = b2 + c2 bağıntısı vardır.

    b. Dar açılı üçgenb ve c sabit tutulup A açısı küçültülürse a da küçülür.

    m(A) < 90° Û a2 < b2  + c3
    c. Geniş açılı üçgen  b ve c sabit tutulup A açısı büyütülürse a da büyür.

    m(A) < 90° Û a2 > b2  + c3
    4. Çeşitkenar bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluklarının sıralanması,

    |AH| = ha ; yükseklik

    |AN| = nA ; açıortay

    |AD| = Va ; kenarortay

    ha< nA <Va

    5. Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay, kenarortay ve yükseklik arasındaki sıralama;

    ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunluklarıdır. 

    m(A) > m(B) > m(C) olduğuna varsayalım. 

    Bu durumda üçgende

    kenarlar :           a > b > c

    yükseklikler :     ha < hb < hc

    Açıortaylar :     nA < nB < nC

    Kenarortaylar : Va < Vb < Vc

    şeklinde sıralanırlar. Yani üçgenin yardımcı elemanları kenarlarının sırasına ters olarak sıralanır.

    •  Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu sıralamalar geçerli değildir.
    6. Bir kenarları ortak olan içiçe iki üçgenden içtekinin çevresi daha küçük olur. 

    |BD| + |DC| < |AB| + |AC|
    • ABCD bir dörtgen, a, b, c, d kenar uzunlukları [AC] ve [BD] köşegenlerdir.

    ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı, köşegenlerin uzunlukları toplamından küçüktür.

    a + c < |AC| + |BD| ve b + d < |AC| + |BD|

    köşegen uzunlukları toplamı çevreden daha büyük ve çevrenin yarısından daha küçük olamaz.

     

    • İç içe şekillerde içteki şeklin çevresi daha küçük olacağından

    |DA| + |AB| + |BC|

    toplamı |DE| + |EF| + |FC|

    toplamından daha büyüktür. 

    7. ABC üçgeninin içindeki herhangi bir P noktası için;|AP| + |BP| + |CP|

    toplamı ABC üçgeninin çevresinden büyük, çevresinin yarısından küçük olamaz.

     

    • Burada ve Çevre değerleri sınır değer değildir.

    Üçgende Alan Kuralı

    Posted on 16 Ocak 2012Categories Geometri Konuları, Üçgende Alan, YGS Geometri, YGS Geometri Konuları OkuTags , , , , ,   Leave a comment on Üçgende Alan Kuralı
    1. Genel Alan Bağıntısı

    ABC üçgeninde [BC] kenarına ait yükseklik [AH]

    Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

    Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir.
    Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir.

    2. Dik Üçgende Alan

    Dik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir.

    3. Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı;

    ABC üçgeninde

    m(ABC) = a

    |AB| = c

    |BC| = a

    a. Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan;

    eşitliği vardır.
    b. |BC| = a |AB| = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi için a = 90° olmalıdır.
    c. Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için |AB| = |AC| olmalıdır.ABC üçgeni ikizkenar dik üçgen olmalıdır.
    4. Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı;ABC üçgeninin çevresi Çevre(ABC) = a + b + c

    Çevrenin yarısına u dersek

    5. Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r olsun.
    Bu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını bulabiliriz.

    A(ABC)=u.r

    Bir ABC üçgeninde iç teğet çemberin yarıçapı r ve yükseklikler

    ABC dik üçgeninde A(ABC) = |BD|.|DC|
    6. Kenarları ve çevrel çemberinin yarıçapı verilen ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olsun.

    • Orta Dikme
    Üçgenin kenarının orta noktasından çizilen dik doğrulara orta dikme denir.[EA, a kenarının

    [FO, b kenarının

    [DO, c kenarının

    orta dikmeleridir.

    O noktası çevrel çemberin merkezidir.

    7. Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları arasındaki bağıntı;

    Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.

    ABC ve ACD üçgenlerinin tabanları aynı doğru üzerinde ve tepe noktaları aynı noktada olduğuna göre, yükseklikleri eşittir.
    8. Tabanları eşit üçgenlerin alanlarının oranı yüksekliklerinin oranına eşittir.ABC ve DBC üçgenlerinin tabanları eşit ve çakışıktır.

    Açıortay Kenarortay

    Posted on 16 Ocak 2012Categories Açıortay Kenarortay, Geometri Konuları, YGS Geometri, YGS Geometri Konuları OkuTags , , , , , , ,   Leave a comment on Açıortay Kenarortay
    • ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI

    1. Açıortay

    Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.

    Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir.

    Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.

    AOB bir açı,

    [OC açıortay

    m(AOC) = m(COB)

    |AC| = |CB|

    AOC ve BOC eş

    üçgenler olduğundan

    |OA| = |OB|

    2. İç Açıortay Bağıntısı

    ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin

    [BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan

    olur …..(1)
    ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde[AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.

    olur …..(2)

    [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den

    olur
    ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla

    Buradan ve b.y=c.x eşitlikleri de elde edilir.

    3. İç Açıortay Uzunluğu

    ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay

    uzunluğuna nA dersek

    4. Dış Açıortay Bağıntısı

    ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.

    5. Dış Açıortay Uzunluğu

    ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna

    n’A dersek

    6. İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı

    m(DAE)=90°

    ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için

    2a + 2b = 180°

    a + b = 90° dir.

    [DA] ^[AE]
    • Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.

    P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir. Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur.

    • ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI

    1. Ağırlık Merkezi

    Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.

    ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının

    kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi

    denir.

    a. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler.

    ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların

    orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise

    eşitlikleri vardır.
    b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir.
    c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve|AG| = 2|GD| olduğundan G noktası

    ağırlık merkezidir.

    d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.
    e. ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|

    eşitliğini sağlayan G noktası ABC

    üçgeninin ağırlık merkezidir.

    2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

    ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay

    |AG|=|DC|=|BD|

    3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar

    a.Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.
    b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.
    c. G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.
    4.ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse|AK| = 3x

    |KG| = x

    |GD| = 2x eşitlikleri bulunur.

    K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.

    [FE] //[BC]
    2[FE]=[BC]
    a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğindeşekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.
    b.Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.

    5. Kenarortay Uzunluğu

    ABC üçgeninde A köşesinden çizilen

    kenarortayın uzunluğuna Va dersek

    Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.

    Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

    Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

    6. Dik Üçgende Kenarortaylar

    A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında

    Benzerlik

    Posted on 16 Ocak 2012Categories Benzerlik, Geometri Konuları, YGS Geometri, YGS Geometri Konuları OkuTags , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Benzerlik
    1. Benzer Üçgenler

    Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

    ABC ve DEF üçgenleri için;

    oranı yazılır

    Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve

    ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.

    eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik

    katsayısı denir.

    •  k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.

    ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

    2. Açı – Açı Benzerlik Teoremi

    Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.

    şekilde verilen üçgenlerde

    İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir. 

    m(C)=m(F)

     

    3. Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Teoremi

    İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.

    ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.

    BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.

     

    4. Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Teoremi

    İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.

    Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.

    m(A) = m(D),

    m(B) = m(E),

    m(C) = m(F)

     

    5. Temel Benzerlik Teoremi

    ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş  açılar eş 

     olacağından   ADE ~ ABC dir.

     

    • Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC] 
      |AK|=2|KB|

      |AL|=2|LC|

    6. Tales Teoremi

    Paralel doğrular kendilerini kesen  doğruları aynı oranda

    bölerler.  d1 // d2 // d3  doğruları için

    Buradan de elde edilir

    •  [AB] // [DE] ise oluşan içters  açıların eşitliğinden,ABC ~ EDC olur. Buradan,

      eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.

    7. Benzerlik Özellikleri

    Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.

    ABC ~ DEF  Û

    Burada k ya benzerlik oranı denir.

    a. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.

    b. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

    c. Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

    d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir.

    e. ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rABC ve çevrel çemberin yarıçapı RABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rDEF ve çevrel çemberin yarıçapı RDEF olsun.

    f. Alanlar oranı

    Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

    g. Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.

    • Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı olarak artar.
    • [AB] // [EF] // [DC]  benzerlik özelliklerinden,

     

    |AB|.|FC|=|DC|.|BF|

     

    8. Özel Teoremler

    a. Menelaüs

    ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise 

    b. Seva

    ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için, 

    Çokgenler

    Posted on 16 Ocak 2012Categories Çokgenler, Geometri Konuları, YGS Geometri, YGS Geometri Konuları OkuTags , , , , , ,   Leave a comment on Çokgenler
    • ÇOKGENLER

    1. Çokgen

    Bir düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan A1, A2, A3, … gibi n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillere çokgen denir.

    a. İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir.

    b. Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir.dışbükey çokgen

    c. Çokgenlerin elemanları

    • A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri denir. Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğruparçaları çokgenin kenarlarıdır.
    • İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin iç açıları denir.
    • İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış açıları denir.
    • Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir.

    2. Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

    a. İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı

    (n – 2) . 180°

    Üçgen için (3 – 2) . 180° = 180°

    Dörtgen için (4 – 2) . 180° = 360°

    Beşgen için (5 – 2) . 180° = 540°

    b. Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde,

    Dış açılar toplamı =360°

    c. Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin

    Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir.

    • n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek
      (n – 2) adet üçgen elde edilebilir.

    3. Düzgün Çokgenler

    Bütün kenarlarının uzunlukları eşit ve bütün açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

    a. şekildeki düzgün altıgende olduğu gibi düzgün çokgenlerin köşelerinden daima bir çember geçer. Bu çembere çevrel çember denir.

    b. Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarı birleştiren köşegenler birbirine eşittir.

    |AC|=|AE|=|BD| |AD|=|AD|=||

    c. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paraleldir.

    [AF] // [CD], [AB] // [ED]….[AH] // [DE], [AB] // [FE]…

    d. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde karşı kenara çizilen dik karşı kenarı ortalar. Köşeden kenarın ortasına çizilen doğru parçası kenara diktir şeklinde de ifade edilir.

    e. n kenarlı düzgün bir çokgende

    f. Konveks çokgenlerin dış açıları toplamı 360° olduğundan düzgün çokgenin bir dış açısı

    4. Düzgün Çokgenin Alanı

    a. n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı

    b.n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı

    (Bu açı aynı zamanda dış açıdır) ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı
    • Düzgün altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur.

    Bir kenarına a dersek

    • DÖRTGENLERİN GENEL ÖZELLİKLERİ
    1. Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir.

    2. Bir dörtgende karşı iki açının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.

    3. Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının ölçüsü

    bilinen dörtgenin alanı;

    ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegen uzunlukları ile a

    biliniyor

    • Köşegenleri birbirine dik olan dörtgenlerde
    • (sin 90° = 1 olduğundan)
    • Köşegen doğruları birbirine dik ise
    4. Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının ölçüsü bilinen içbükey dörtgenin alanı;[AC] ve [BD] köşegenleri ile köşegen doğruları arasındaki a biliniyor ise ABCD içbükey dörtgeninin alanı;

    5. Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin kenarları arasındaki bağıntı; ABCD dörtgeninde
    [AC] ^ [BD]

    Köşegenleri dik olan dörtgenlerin karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı eşittir.

    • Köşegenleri dik içbükey dörtgenlerde de karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir.

    ABCD dörtgeninde

    6. Dörtgenlerde köşegenlerin ayırdığı alanlar; ABE ve ADE üçgenlerinin yükseklikleri eşit olduğundan alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.
    7. Dörtgenlerde kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan paralelkenar; ABCD dörtgeninde kenarların orta noktaları birleştirilerek oluşan KLMN dörtgeni paralelkenardır. Paralelkenarın alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir.[KL] // [BD] // [MN] ve |KL| = |MN| =

    [LM] // [AC] // [KN] ve |LM| = |KN| =

    • Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde, kenarların orta noktaları birleştirilerek elde edilen dörtgen, dikdörtgendir.

    [AC] ^ [BD] ve K, L, M, N kenarların orta noktaları ise KLMN dikdörtgendir.

    Yamuk

    Posted on 16 Ocak 2012Categories Geometri Konuları, Yamuk, YGS Geometri, YGS Geometri Konuları OkuTags , , , , , , , ,   Leave a comment on Yamuk
    Yamuk
    Alt ve üst kenarları paralel olan dörtgenlere yamuk denir.

    Şekildeki ABCD yamuğunda [AB] // [DC] dir.

    1. Yamukta açılar

    [AB] // [DC] olduğundan 

    x + y = 180°

    a + b = 180°

     

    • Karşılıklı iki kenarı paralel olan dörtgenlerde açıortay verilmiş ise ikizkenar üçgen elde edebileceğimiz gibi, ikizkenarlık verilmiş ise de açıortay elde ederiz.

    2. Yamuğun Alanı

    ABCD yamuğunda paralelkenarlar arasındaki uzaklığa yamuğun yüksekliği denir. Alt tabanı |DC| = a,

    üst tabanı |AB| = c

    yüksekliği |AH| = h

    ABCD yamuğunun alanı

    3. İkizkenar Yamuk

    Paralel olmayan kenarları eşit olan yamuklara ikizkenar yamuk denir.

     

    a. İkizkenar yamukta taban ve tepe açıları kendiaralarında eşittir.

    m(A) = m(B) = y

    m(D) = m(C) = x

     

    b. İkizkenar yamukta köşegen uzunlukları eşittir.Köşegenlerin kesiştiği noktaya E dersek

    |AE| = |EB|

    |DE| = |CE|

    •  Köşegen uzunlukları birbirine eşit olan her yamuk ikizkenardır.

     

    c. İkizkenar yamukta üst köşelerden alt tabana dikler çizilmesiyle ADK ve BCL eş dik üçgenleri oluşur.|DC| = a

    |KL| = c

    4. Dik Yamuk

    Kenarlarından biri alt ve üst tabana dik olan yamuğa dikyamuk denir.

    |AD| = h aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.

    5. Yamukta Orta Taban

    a. ABCD yamuğunda E ve F kenarların orta noktaları ise EL doğrusuna orta taban denir.

    [AB] // [EF] // [DC]

     

     Yamuğun alanı

      olduğundan
    A(ABCD)=Orta taban x Yükseklik
    b. Yamukta köşegenin orta tabanda ayırdığı parçalar

     

    •  ABCD yamuğunda EF orta taban

     

    6. Yamuğun köşegenlerinin kesim noktasından tabanlaraçizilen paralel;

    ABCD yamuğunda L köşegenlerin kesim noktasıdır.

    [AB] // [MN] // [DC]

    7. Kenar Uzunlukları Bilenen Yamuk

    Bir ABCD yamuğunun kenar uzunlukları biliniyor ise kenarlardan birine paralel çizilerek bir paralelkenar ve bir üçgen oluşturulur.

    8. Köşegenleri Dik Kesişen Dik Yamuk

    ABCD dik yamuğunda

    [AC] ^ [BD] BD ye paralel çizildiğinde oluşan dik üçgende

    h2=a.c

    9. Köşegenleri Dik Kesişen İkizkenar  Yamuk

    ABCD yamuğunda

    |AD| = |BC|

    [AC] ^ [BD]

    yamuğun yüksekliği

     

    10. Yamukta Köşegenlerin Ayırdığı Parçaların AlanıHerhangi bir yamukta köşegenler çizildiğinde

    [AB] // [DC]

     

    A(ABCD)=A(BCE)=S

     

    Bir yamukta alt ve üst iki köşenin, karşı kenarın ortanoktası ile birleştirilmesi sonucu oluşan alan yamuğun

    alanının yarısına eşittir.

    |BE| = |EC|

    A(ABCD) = 2A(ADE)

     

    l [AB] // [EF] // [DC], |AB| = a

    |EF| = b

    |DC| = c

    A(ABFE) = S2

    A(EFCD) = S1

    Çemberde Açılar

    Posted on 16 Ocak 201216 Ocak 2012Categories Çemberde Açılar, Geometri Konuları, YGS Geometri, YGS Geometri Konuları OkuTags , , , ,   Leave a comment on Çemberde Açılar
    Çemberde Açılar
    • ÇEMBER
    Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesine çember denir.O noktasından r uzaklıktaki noktalar kümesi, O merkezli ve r yarıçaplı çemberdir.

     

    Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş denir. [CD] kirişi gibi.

    En uzun kiriş merkezden geçen kiriştir. O merkezinden geçen [AB] kirişine çemberin çapı denir.

    Çemberi iki noktada kesen doğrulara kesen denir. d2 doğrusu çemberi K ve L noktalarında kestiğine göre, kesendir.

    Çemberi bir noktada kesen doğruya teğet denir. d1 doğrusu çemberi T noktasında kestiğinden teğettir.

    Çemberin merkezindeki 360° lik açı çember yayının tamamını görür.Çember yayının açısal değeri 360° dir.
    Çap çember yayını iki eşit parçaya ayırır. Her bir parça 180° dir.
    • ÇEMBERDE AÇI ÖZELLİKLERİ

    1. Merkez Açı

    Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Bir merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

    m(AOB)=m(AB)=a

    2. Çevre Açı

    Köşesi çemberin üzerinde, kenarları bu çemberin kirişleriolan açıya çevre açı denir. Çevre açının ölçüsü, gördüğüyayın ölçüsünün yarısına eşittir.

     

    Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü merkez açının ölçüsününyarısıdır.

    Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir.m(BAC) = m(BEC) = m(BDC)
    Çapı gören çevre açının ölçüsü 90° dir.m(AEB) = m(ACB) = m(ADB) = 90°

    3. Teğet – kiriş açı

    Köşesi çember üzerinde, kollarından biri çemberin teğeti, diğeri çemberin kirişi olan açıya, teğet – kiriş açı denir.Teğet – kiriş açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

    • Aynı yayı gören teğet-kiriş açı ile çevre açının ölçüleri eşittir.

    m(ABT) = m(ATC) = a

    4. İç Açı

    Bir çemberde kesişen farklı iki kirişin oluşturduğu açıya iç açı denir.İç açının ölçüsü gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir.

    5. Dış Açı

    İki kesenin, iki teğetin veya bir teğetle bir keseninoluşturduğu açıya, çemberin bir dış açısı denir.

    Bir dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçüleri farkının yarısına eşittir.

    APB açısı AB ve CD yaylarını gördüğüne göre,

    • [PA teğet,

    [PB kesen,

    • [PA teğet

    [PC teğet

    m(AC) = y

    m(CA) = x

    dersek

    Burada, x + y = 360° olduğundan,

    a + x = 180°
    • O merkezli yarım çemberde,

    m(APC) = a

    m(AB) = b

    a+b = 90°

    6. Kirişler Dörtgeni

    Kenarları bir çemberin kirişleri olan dörtgene kirişler dörtgeni denir.Bir kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir.

    m(A)+m(C)=180°m(B)+m(D)=180°

    Karşılıklı açılarının ölçüleri toplamı 180 olan bütün dörtgenlerin köşelerinden bir çember  geçer.

    • Kesişen iki çemberde oluşan  ABEF ve BCDE dörtgenlerinde
    m(ABE)=m(CDF)m(AFD)=m(CBE)m(ABE)+m(CBE)=180° olduğundan,

    [AF] // [CD]

    Çemberde Uzunluk

    Posted on 16 Ocak 2012Categories Çemberde Uzunluk, Geometri Konuları, YGS Geometri, YGS Geometri Konuları OkuTags , , , , , , ,   Leave a comment on Çemberde Uzunluk
    Çemberde Açı ve Uzunluk
    • TEĞET – KİRİŞ ÖZELLİKLERİ
    1. Teğet noktasından ve çemberin merkezinden geçen doğru, teğet olan doğruya diktir.AB doğrusu T noktasında çembere teğet

    AB ^ OT

    Teğet doğrusuna, teğet noktasından çizilen dik doğru çemberin merkezinden geçer.

    2. Çemberin dışındaki bir noktadan çembere çizilen teğetlerin uzulukları birbirine

    eşittir.

    [PA ve [PT

    çembere teğet

    |PA| = |PB|

    [PT ve [PS çembere teğet ve O çemberin merkezi ise [PO, TPS açısının açıortayıdır.

    |OT| = |OS| ve [PT] ^ [TO], [PS] ^ [SO] olduğundan PTOS dörtgeni bir deltoid tir.

    • İçten ve dıştan teğet çemberlerde merkezleri birleştiren doğru teğet noktasından geçer.
    O1 ve O2 merkezli çemberler T noktasında dıştan teğet ise, merkezleri birleştiren doğru T noktasından geçer.
    Aynı özellik içten teğet çemberler için de geçerlidir.O1 , O2 ve T noktaları aynı doğru üzerindedir.
    3. Bir çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar.
    Bir çemberde, merkeze uzaklıkları eşit olan kirişlerin uzunlukları da eşittir.

    |OF|=|OE|Û|AB|=|CD|
    Bir çemberde herhangi iki kirişten merkeze yakın olanı daha büyüktür.

    |OH|<|ON|Û|AB|>|CD|
    4. Bir çemberde eşit uzunluktaki kirişlerin gördüğü yaylarda eşittir.

     

    5. Bir çemberde paralel iki kiriş arasında kalan yaylareşittir.

    Bir çember içinde alınan herhangi bir P noktasından geçen en kısa kiriş, orta noktası P olan kiriştir.

    [AC] ^ [PO]

     

    • TEĞETLER DÖRTGENİ
    1. Bir çembere teğet dört doğru parçasının oluşturduğu dörtgene teğetler dörtgeni denir.ABCD dörtgeninde K, L, M, N teğetlerin değme noktasıdır.

     

    2. Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunluklarıtoplamı eşittir.

     

    a+c=b+d
    3. Teğetler dörtgeninin alanı; içteğet çemberin yarıçapı ile çevresinin çarpımının yarısıdır. 

     

    • KİRİŞLER DÖRTGENİ
    Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamının 180° dir.

    Dörtgeninin alanı;

     

    A(ABCD)=Ö(u – a)(u – b)(u – c)(u – d)

     

    KUVVET

    1. Çemberin Dışındaki Bir Noktanın Çembere Göre Kuvveti

    [PT, T noktasında çembere teğet, [PB ve [PD çemberi

    kesen ışınlar

    Kuvvet = |PT|2 = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|

    2. Çemberin İçindeki Bir Noktanın Çembere Göre Kuvveti

    Bir çemberin içindeki bir noktada kesişen iki kiriş üzerinde,kesim noktasının ayırdığı parçaların uzunlukları çarpımı

    sabittir.

    Kuvvet = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|
    •  Çemberin üzerindeki bir noktanın çembere göre kuvveti sıfırdır

    3. İki Çemberin Kuvvet Ekseni

    Kuvvet ekseni üzerindeki noktaların her iki çembere göre kuvvetleri eşittir.

    a. Dıştan teğet iki çemberin kuvvet ekseni teğet noktasından geçer. Kuvvet ekseni çemberin merkezlerini birleştiren doğruya teğet noktasında diktir.|O1O2| = r1 + r2
    b. İçten teğet çemberlerin kuvvet ekseni teğet noktasından geçer. Kuvvet ekseni merkezlerden geçen doğruya teğet noktasında diktir.|O1O2| = r1 – r2
    c. Kesişen çemberlerde kuvvet ekseni çemberlerin kesişim noktalarından geçer ve merkezleri birleştiren doğruya diktir.|O1O2| < r1 + r2
    şekildeki P noktasının A noktasında birbirine dıştan teğet olan O1 ve O2 merkezli çemberlere uygulamış olduğu kuvvetler eşittir.

    |PB|=|PA|=|PC| Û |BA]^[AC]
    • Yarıçapları kesişim noktalarında dik olan çemberlere dik kesişen çemberler denir.
    d. Kesişmeyen çemberlerin ortak noktası yoktur. Kuvvet ekseni iki çemberin arasında ve çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruya diktir.|O1O2| > r1 + r2

    4. Ortak Teğet Parçasının Uzunluğu

    Ortak teğet uzunluğunun bulunabilmesi için merkezlerden teğetlere dikler çizilir.

    O1O2C dik üçgeninde |CO2| = |AB|

    |AB|2 =|O1O2|2 – |r1-r2|2

    5. Bir Doğru İle Bir Çemberin Durumları

    Aynı düzlemde bulunan O merkezli r yarıçaplı bir çember ile d doğrusu üç farklı durumda bulunur.

    a. |OH| > r ise

    doğru çemberi kesmez ve doğru çemberin dışındadır.

    Çember Ç d = Æ

    b. |OH| = r ise

    doğru çemberi bir noktada keser. Yani doğru çembere teğettir.

    Çember Ç d = {H}

    c. |OH| < r ise

    doğru çemberi iki noktada keser.

    Çember  Ç  d = {A, B}

    Dairede Alan

    Posted on 16 Ocak 2012Categories Dairede Alan, Geometri Konuları, YGS Geometri, YGS Geometri Konuları OkuTags , , , , , , ,   Leave a comment on Dairede Alan
    Dairede Uzunluk ve Alan

    1. Dairenin Alanı ve Çevresi

    O merkezli ve r yarıçaplı bir dairede

    Dairenin Alanı = pr2

     

    Dairenin Çevresi = 2pr

    2. Daire Diliminin Alanı ve Yay Parçasının Uzunluğu

    O merkezli dairede m(AOB) = a olacak şekilde taralı dairediliminin alanı,

     

    3. Daire Kesmesinin Alanı

    O merkezli dairede taralı alan, daire diliminin alanından

    BOA üçgeninin alanının çıkarılması ile bulunur.

    4. Daire Halkasının Alanı

    O merkezli r1 ve r2 yarıçaplı çemberler arasında kdairenin alanının çıkarılması ile bulunur.

    Taralı Alan = pr22pr12 

    p ortak parantezinde

    Taralı Alan =p(r22-r12)
    • O merkezli ve r yarıçaplı daire diliminde yay uzunluğuna

    |AB| = l dersek

    5. Çemberde Benzerlik

    Bütün çemberler benzer olduğundan eş açılı yaylarda benzerdir. Üçgenlerdeki benzerlik özelliklerini yaylarda da kullanabiliriz.

    şekildeki O merkezli AB, CD ve EF çember yayları veriliyor.

    Üçgenlerde geçerli olan tüm benzerlik özellikleri burada da 

    geçerlidir.

    Alanlar S, 3S, 5S sırasıyla orantılıdır.

    • Aynı merkezli daire dilimleri arasında kalan alan, yamuğun alanına denktir.

    h = r2 – r1

    6. Teğet Çemberlerde Benzerlik

    BTC açısı ortak açı olduğundan AT ve BT yaylarının ölçüleri eşittir.

    Ölçüleri eşit yaylar benzer olduğundan

     

     

    Uzay Geometrisi

    Posted on 16 Ocak 2012Categories Geometri Konuları, Uzay Geometrisi, YGS Geometri, YGS Geometri Konuları OkuTags , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Uzay Geometrisi
    • BAZI KAVRAM ve TANIMLAR

    Geometride nokta, doğru, düzlem ve uzay gibi bazı kavramlar tanımsız olarak kabul edilir. Kalemin veya sivri bir şeyin ucunun bıraktığı ize nokta diyebiliriz. Cetvelin kenarı ile bir doğru çizebiliriz. Sınıfın duvarı, pencere camı birer düzlemdir. Odanın içerisi, herhangi bir cismin kapladığı yer birer uzay belirtirler.

    Nokta : « . » Biçiminde ifade edilir ve genellikle büyük harfle gösterilir. Nokta boyutsuzdur.

    « . » nokta, « . A” A noktası

    Doğru : iki ucuna ok işareti koyulmuş düz bir çizgi ile gösterilir. Doğru küçük harfle veya üzerindeki iki nokta ile gösterilir.

    d »d doğrusu

    veya AB doğrusu diye okunur. Buradaki A ve B noktaları doğrunun birer elemanıdır.

    A Îd ve B Î d biçiminde yazılır.

    •  Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.
    •  Farklı iki nokta bir tek doğru belirtir.

    Doğru bir boyutludur. Yani sadece uzunluk söz konusudur.

    Düzlem: Uzunluğuna ve genişliğine doğru sonsuza uzayıp giden düz bir yüzeydir. Düzlem iki boyutludur. Sayfa üzerinde paralelkenar gibi gösterilebilir. Paralelkenarın köşesine harfle ismi yazılabilir.

    şekildeki düzlem E düzlemi diye isimlendirilir.

    Burada A, B ve C noktaları E düzlemi üzerindedir. Dolayısıyla B ve C noktalarından geçen d doğrusu da E düzlemi üzerindedir.

    A Î E

    B Î E

    C ÎE

    d ÎE

    • Aynı doğru üzerinde olmayan farklı üç nokta bir düzlem belirtir.
    • Bir doğru ile, bu doğru üzerinde olmayan bir nokta, bir düzlem belirtir.
    • Bir doğrunun farklı iki noktası bir düzlem üzerinde ise bu doğru (doğrunun bütün noktaları) bu düzlem üzerindedir.

    1. Düzlemle Doğrunun Durumları

    Bir doğru düzlemin ya üzerinde, ya dışındadır veya düzlemi bir noktada keser.

    d1Ça = d1

    d2Ça = Ø

    d Çb = {K}

    K noktası kesişen bir doğru ile bir düzlemin arakesitidir.

    2. Düzlemde İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları

     

    • Paralel farklı iki doğru bir tek düzlem belirtir.

    • Her paralel farklı iki doğrudan bir tek düzlem geçer.

    • Kesişen farklı iki doğru bir tek düzlem belirtir. Her kesişen farklı iki doğrudan bir tek düzlem geçer.

    • Bir düzlemde farklı iki doğru ya paraleldir, ya da bir noktada kesişirler.

    d1  Ç d2 = Ø

    l1  Ç l2 = {A}

    Üst üste çizilen çakışık doğrular bir tek doğru kabul edilir.

    3. Düzlemde Üç Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları

    Üç doğru paralel olabilir.

    d1 // d2 // d3                 d1Ç d2Çd3 = Ø

    Düzlemde paralel olan iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir.

    d1 // d2 ve d2 // d3 ise d1 // d3 olur.

    Yalnız ikisi paralel ise, üçüncü doğru paralel doğruları birer noktada keser.

    l1 // l2

    l1Ç l3 = {A}

    l2Ç l3 = {B}

    •  Düzlemde paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru, diğerini de keser.

    •  Düzlemde paralel iki doğrudan birini dik kesen bir doğru diğerini de dik keser.

    Üç doğru bir noktada kesişebilir.

    k1Ç k2Çk3 = {P}

    Üç doğru ikişer ikişer kesişebilir.

    t1Ç t2 = {A}

    t1 Ç t3 = {B}

    t2 Ç t3 = {C}

    t1 Ç t2 Çt3 = Ø

    4.Düzlemde Nokta İle Doğrunun  Durumları

     

    • Doğrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru çizilebilir.

    d2 doğrusu A’dan geçer ve d1 e diktir

    • Doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru çizilebilir.

    d3 doğrusu B’den geçer ve d1 e diktir.

    • Doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve bu doğruya paralel olan bir tek doğru çizilebilir.

    l2 doğrusu A’dan geçer ve l1 ile paraleldir.

    5. Doğruların Düzlemde Ayırdığı Bölge Sayısı

    Genel olarak, n adet doğru bir düzlemi en az (n + 1) bölgeye (paralellik hali), en

     fazla 

     bölgeye ayırır.

            

    •  İki doğru, bir düzlemi en az 3 bölgeye, en fazla 4 bölgeye ayırır.

    •  Üç doğru, bir düzlemi en az 4 bölgeye, en fazla 7 bölgeye ayırır.

    •  Dört doğru, bir düzlemi en az 5 bölgeye, en fazla 11 bölgeye ayırır.

    • UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR

    Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusu idi. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında bir de yükseklik kavramı vardır. (Derinlikte denilebilir.) Dolayısıyla uzay üç boyutludur. Uzayda x, y, z eksenleri olduğu için kartezyen koordinat olarak R x R x R veya R3 ile sembolize edilir.

    Aşağıda üç boyutlu cisimlerin bazıları belirtilmiştir.

    1. Uzay Belirtme Aksiyomları

    • Dördü aynı düzlemde bulunmayan farklı dört nokta uzay belirtir.

    E düzlemindeki A, B, C noktaları ile düzlem dışındaki P noktası, uzay belirtir.

    • Bir düzlem ile bu düzlemin dışındaki bir nokta, uzay belirtir.

    E düzlemi ile bu düzlemin dışındaki P noktası uzay belirtir.

    • Bir düzlem ve düzlem üzerinde olmayan bir doğru uzay belirtir.

    d doğrusu F düzleminde olmadığından, F düzlemi ile d doğrusu uzay belirtir.

     

    • Uzayda farklı iki düzlem ya paraleldir ya da kesişirler.

    • Paralel olmayan farklı iki düzlem daima kesişir.

    • Farklı iki düzlem daima uzay belirtir.

    • Kesişen iki düzlemin ortak noktalarının oluşturduğu doğruya arakesit doğrusu denir.

    Farklı K ve L düzlemleri uzay belirtir. E ve F düzlemlerinin kesişim kümesi d doğrusudur. E Ç F = d dir.