İntegral Uygulamaları

Posted on 07 Ocak 201224 Ocak 2014Categories 12. Sınıf Matematik, İntegral, İntegral Uygulamaları, LYS Matematik Konularını OkuTags , ,   Leave a comment on İntegral Uygulamaları

Bu kO

Benzerlik – Video

Çokgenler – Video


A. İNTEGRAL İLE ALAN ARASINDAKİ İLİŞKİ

Aşağıdaki şekilde y = f(x) eğrisi y = g(x) eğrisi x = a ve x = b doğrusu arasında kalan taralı bölge verilmiştir.

      

Bölge (ya da eğriler) hangi konumda olursa olsun, yukarıdaki eğrinin denkleminden aşağıdaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla oluşan belirli integral, bölgenin alanını ifade etmektedir.

Bu sayfadan sonraki sayfada verilen şekilde x = f(y) eğrisi x = g(y) eğrisi y = a ve y = b doğrusu arasında kalan taralı bölge verilmiştir.

      

Bölge (ya da eğriler) hangi konumda olursa olsun, sağdaki eğrinin denkleminden soldaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla oluşan belirli integral, bölgenin alanını ifade etmektedir.

Kural

 1. Hangi konumda olursa olsun, alan daima pozitif bir reel sayı ile ifade edilir. 2. Belirli integralin değeri bir reel sayıdır.

 3. İntegral ile alan ilişkilendirilirken,

 a. Alan x ekseninin üst kısmındaysa, alanı ifade eden sayı integrali de ifade eder.

 b. Alan x ekseninin alt kısmındaysa, alanı ifade eden sayının toplama işlemine göre tersi integrali ifade eder.

 

Kural

 y = f(x) parabolünün tepe noktasının apsisi r ordinatı
k; x = f(y) parabolünün tepe noktasının apsisi n ordinatı m dir.

  Yukarıda solda verilen parabolde taralı alan,

Yukarıda sağda verilen parabolde taralı alan,

  

 Yandaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Taralı alan,

Bu kurallar bütün paraboller için geçerlidir.

 

Kural

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

      

 

 

B. İNTEGRAL İLE HACİM ARASINDAKİ İLİŞKİ

Kural

y = f(x) eğrisi,x = a, x = b doğruları ve x ekseni ile sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

 

Kural

x = g(y) eğrisi,y = c, y = d ve y ekseni tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) y ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

 

Kural

y = g(x) eğrisi,x = a, x = b ve y = f(x) tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

 

Kural

x = f(y) eğrisi,y = c, y = d ve x = g(y) tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) y ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

 

 

Bu Konuyu İzle

 

 

  Detay Hocamız

{vimeo}21958802{/vimeo}

{vimeo}21959439{/vimeo}

{vimeo}21959731{/vimeo}

ust

 

 

 

 

 

 

 

 

  Lütfü Hocamız

 

{vimeo}1877895{/vimeo}

{vimeo}1032093{/vimeo}

{vimeo}916643{/vimeo}

{vimeo}919166{/vimeo}

ust

 

 

 

 

 

 

Nejdet Hocamız

{vimeo}3847019{/vimeo}

{vimeo}3850739{/vimeo}

 

ust

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tekin Hocamız

{vimeo}10944006{/vimeo}

{vimeo}17742686{/vimeo}

{vimeo}6227829{/vimeo}

{vimeo}6246859{/vimeo}

 

ust

 

 

 

 

  Ekol Hocamız

 

ders 1

Ekol Hoca İzle

ders 2

Ekol Hoca İzle

ders 3

Ekol Hoca İzle

ust

 

 

Çokgenler – Video


Belirsiz İntegral

Posted on 07 Ocak 201207 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, Belirsiz İntegral, LYS Matematik Konularını OkuTags , , , , , , ,   Leave a comment on Belirsiz İntegral

BELİRSİZ İNTEGRAL

 

A. DİFERANSİYEL KAVRAMI

x in sonsuz küçük değişimi dx şeklinde gösterilir. Buna x değişkeninin diferansiyeli denir.

Fonksiyondaki değişim dy ile gösterilir.

dy = f'(x)dx ifadesine y = f(x) fonksiyonunun diferansiyeli denir.

 

B. BELİRSİZ İNTEGRAL

Türevi f(x) veya diferansiyeli f(x)dx olan F(x) fonksiyonuna f(x) in belirsiz integrali denir ve

     

şeklinde gösterilir.

sembolüne integral işareti, f(x) fonksiyonundan F(x) + c fonksiyonunun bulunmasını sağlayan işleme integral alma işlemi,

F(x) + c fonksiyonuna da f(x) in ilkel fonksiyonu denir.

 

Uyarı

f(x) in integralini bulmak, türevi f(x) e eşit olan fonksiyonu bulmaktır.

 

 

C. İNTEGRAL ALMA KURALLARI

Kural

n ¹ 0 olmak üzere,

     

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

 

D. İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ

1. Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegrali alınan fonksiyon f(u)du gibi daha basit bir ifadeye dönüştürülerek integral alınır.

 

Kural

n ¹ –1 olmak üzere,

 

Kural

 

Kural

den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için, x = a × sint değişken değiştirmesi yapılır.

 

Kural

den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için, değişken değiştirmesi yapılır.

 

Kural

den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için,x = a × tant

değişken değiştirmesi yapılır.

 

Kural

köklü ifadelerini içeren fonksiyonların integrallerini hesaplamak içinE.k.o.k.(m, n) = p

olmak üzere,

ax + b = tp

değişken değiştirmesi yapılır.

 

 

2. Kısmî İntegrasyon Yöntemi

u = f(x)

v = g(x)

olsun. u × v nin diferansiyeli,

d(u × v) = du × v + dv × u

olur. Buradan,

u × dv = d(u × v) – v × du

olur. Her iki tarafın integrali alınırsa,

Uyarı

Kısmî integralde u nun ve dv nin doğru seçilmesi çok önemlidir. Seçim doğru yapılmazsa, çözüme yaklaşmak yerine, çözümden uzaklaşılır.Türev ve integral alma bilgileri ışığında, seçim sezgisel olarak yapılabilir. Ancak, kolaylık sağlayacağı için aşağıdaki kuralı göz önüne alabilirsiniz.

 

Kural

      integrallerinde;

seçimi yapılır.

seçimi yapılır.

 

Sonuç

  n bir doğal sayı olmak üzere,

f(x) bir polinom fonksiyon olmak üzere,

 

 

3. Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi

P(x) ve Q(x) ortak çarpanı olmayan iki polinom olsun.

integrali, vereceğimiz iki yöntemden biriyle sonuçlandırılır.

 

a. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise;

P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise P(x), Q(x) e bölünür.

b. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçük ise;

P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçükse ifade basit kesirlere ayrılır.

 

4. Trigonometrik Özdeşliklerden Yararlanarak İntegral Alma Yöntemi

Kural

sin x ve cos x in çift kuvvetlerinin çarpımı biçimindeki integrallerde şu iki özdeşlik kullanılır:

 

Kural

     

biçimindeki integralleri aşağıdaki özdeşlikler yardımıyla sonuçlandırırız.

     

 

Fonksiyonların Grafikleri

Posted on 07 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, Fonksiyonların Grafikleri, LYS Matematik Konularını OkuTags , , , , , , , , ,   Leave a comment on Fonksiyonların Grafikleri

GRAFİKLER

 

GRAFİKLER

y = f(x) fonksiyonunun analitik düzlemdeki (dik koordinat sistemindeki) görüntüsü olan noktalara, fonksiyonun grafiği denir.

Eğriyi ortaya koyan özel noktalar:

x eksenini kesim noktaları

y eksenini kesim noktaları

Ekstremum noktaları

Dönme noktaları

Asimptotlar

Eğrinin karakterini belirleyen özellikler:

Tanım aralığı (kümesi)

Artan ya da azalan olduğu aralıklar

Eğrilik yönünün yukarı ya da aşağı olduğu aralıklar

Bütün eğriler asimptot oluşturmaz. Diğer bir ifadeyle, bazı eğrilerin bir ya da birkaç asimptotu olabilir.

Grafik çizme zaman alan bir iş olduğu için, test sınavlarında grafik çizmeye gerek duymadan sonuca gidilebilir. Bunun yolu da eğrinin özel noktaları ya da karakteri göz önüne alınarak, seçenekleri elemektir.

 

GRAFİK ÇİZME STRATEJİSİ

1. Fonksiyonun tanım aralığı belirlenir.

2. Fonksiyon bir kapalı aralıkta tanımlıysa, uç noktalardaki değerleri hesaplanır.

3. Eğer periyodik ise, fonksiyonun periyodu bulunur. Esas periyotta çizim yapılır; diğer aralıklarda çizim tekrarlanır.

4. Fonksiyonun tek veya çift olup olmadığına bakılır.

(Çift ise, x ³ 0 için çizim yapılır; oluşan görüntünün Oy eksenine göre, simetriği alınarak, çizim tamamlanır.

Tek ise, x ³ 0 için çizim yapılır; oluşan görüntünün orijine göre, simetriği alınarak, çizim tamamlanır.)

5. Eğrinin eksenleri kestiği noktalar belirlenir.

6. Varsa, asimptotlar belirlenir.

7. Fonksiyon de tanımlıysa, için fonksiyonun limiti hesaplanır.

8. Fonksiyonun birinci türevi alınır. Böylece, fonksiyonun artan ya da azalan olduğu aralıklar belirlenir; ekstremum noktaları hesaplanır.

9. Fonksiyonun ikinci türevi alınır. Böylece, fonksiyonun eğrilik yönünün yukarı ya da aşağı olduğu aralıklar belirlenir; dönme noktaları hesaplanır.

10. Elde edilen bilgilere göre, değişim tablosu yapılır.

11. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir.

Bazı grafiklerin çiziminde, yukarıdaki bilgilerin aynı anda hepsine ihtiyaç duyulmayabilir.

 

A. POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ

Polinom biçimindeki fonksiyonlar (–¥, +¥) aralığında tanımlıdır. Bu fonksiyonların asimptotu olmaz.

f(x) = 0 denkleminin tek katlı köklerinde eğri Ox eksenini keser; çift katlı köklerinde eğri Ox eksenine teğettir.

 

B. ASİMPTOTLAR

Bir eğrinin herhangi bir kolu başka bir eğriye (ya da doğruya) yakınsıyorsa, yakınsanan eğriye (ya da doğruya) asimptot denir.

Asimptotlar kendi özelliğine göre ad alır. Örneğin, düşey bir doğrudan oluşan asimptota, düşey asimptot; yatay bir doğrudan oluşan asimptota, yatay asimptot; düşey ya da yatay olmayan bir doğrudan oluşan asimptota, eğik asimptot; Bir eğriden oluşan asimptota eğri asimptot denir.

 

1. Düşey Asimptot

Eğri; fonksiyonun paydasının köklerinde düşey asimptotlara sahiptir.

olmak üzere, Q(x) = 0 denkleminin kökleri x1, x2, …, xn olsun. y eğrisinin düşey asimptotlarının denklemleri:

x = x1, x = x2, … , x = xn doğrularıdır.

 

2. Yatay Asimptot

olmak üzere, ise yatay asimptot vardır.

Yatay asimptotun denklemi, y = c dir.

Payı ve paydası 1. dereceden olan fonksiyonların simetri merkezi düşey ve yatay asimptotların kesim noktasıdır.

 

3. Eğik Asimptot

denkleminde P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden 1 büyük

 ise eğrisinin bir eğik asimptotu vardır.

Eğik asimptotun denklemi P(x) in Q(x) e bölümüyle bulunur.

 

4. Eğri Asimptot

denkleminde P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden en az 2 büyük ise eğrisinin bir eğri asimptotu vardır. Eğri asimptotun denklemi, P(x) in Q(x) e bölümüyle bulunur.

 

C. RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

    

1. P(x) = 0 denkleminin tek katlı köklerinde kesen oluşur.

   

2. P(x) = 0 denkleminin çift katlı köklerinde teğet oluşur.

   

3. Q(x) = 0 denkleminin tek katlı köklerinde kelebek oluşur.

   

4. Q(x) = 0 denkleminin çift katlı köklerinde baca oluşur.

   

 

D. KÖKLÜ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Kökün derecesinin tek ya da çift oluşuna göre, çizim yapılır.

fonksiyonunda a < 0 ise asimptot yoktur;

a > 0 ise eğik asimptotlar görülür.

Eğik asimptotların denklemi:

     

L Hospital Kuralı

Posted on 07 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, L Hospital Kuralı, LYS Matematik Konularını OkuTags   Leave a comment on L Hospital Kuralı

L’HOSPİTAL KURALI

 

A. L’HOSPİTAL KURALI

Bir fonksiyonun x = a noktasındaki limiti hesaplanırken karşımıza çıkan,

     

belirsizlikleri, belirsizliklerinden birine dönüştürülerek,

L’ Hospital Kuralı yardımıyla sonuçlandırılır.

 

Kural

f ve g, (a, b) aralığında türevlenebilir olsun.

Her x Î (a, b) için g'(x) ¹ 0 ve c Î (a, b) olmak üzere,

Eğer, ise yukarıdaki kural bir

 

daha uygulanır.

 

Uyarı

L’ Hospital kuralında belirsizliğini ortadan

kaldırmak için, yapılan işlemin: Payın türevini paya, paydanın türevini paydaya yazmak olduğuna dikkat ediniz.

 

Kural

¥ × 0 belirsizliğinde,

düzenlemelerinden biriyle sonuca gidilir.

¥¥ belirsizliğinde,

düzenlemesiyle sonuca gidilir.

00¥0 ,  1¥  belirsizliklerinde, tabanında logaritma alınarak sonuca gidilir.

 

Ekstremum Noktaları

Posted on 07 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, Ekstremum Noktaları, LYS Matematik Konularını OkuTags ,   Leave a comment on Ekstremum Noktaları

 

EKSTREMUM PROBLEMLERİ

 

1. Birinci türevin + dan – ye geçtiği noktada, fonksiyonun yerel maksimum değerini aldığını,

2. Birinci türevin – den + ya geçtiği noktada, fonksiyonun yerel minimum değerini aldığını vermiştik.

Bu iki bilgiyi kullanarak, ekstremum problemlerini (Maksimum, minimum problemlerini) çözebiliriz.

Ancak, “Maksimum, minimum problemleri” için, ikinci bir çözüm yolu olarak, ikinci türevi de kullanabiliriz.

Şöyle ki;

1. Birinci türevin kökü, ikinci türevi negatif yapıyorsa, fonksiyon bu noktada yerel maksimum değerini alır.

2. Birinci türevin kökü, ikinci türevi pozitif yapıyorsa, fonksiyon bu noktada yerel minimum değerini alır.

 

EKSTREMUM PROBLEMLERİ

Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun) alabileceği en büyük (maksimum) değer ya da en küçük (minimum) değerin bulunması istenir.

İstenen çokluk bir değişkenin fonksiyonu olarak yazılır. Bu fonksiyonun maksimum ya da minimum değeri, birinci türevin kökü (kökleri) bulunarak belirlenir.

Çünkü, fonksiyonun maksimum ya da minimum noktalarında birinci türev (tanımlıysa) sıfırdır.

 

Uyarı

Çevreleri eşit olan dikdörtgenler içinde alanı en büyük olan dikdörtgen karedir.

Bu durum genellenebilir.

Şöyle ki: Çevreleri eşit olan üçgenler içinde alanı en büyük olan üçgen eşkenar üçgendir; çevreleri eşit olan beşgenler içinde alanı en büyük olan beşgen düzgün beşgendir; çevreleri eşit olan altıgenler içinde alanı en büyük olan altıgen, düzgün altıgendir.

 

Uyarı

Bir çember içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgen karedir.

Bu durum genellenebilir.

Şöyle ki: Bir çember içine çizilebilecek en büyük alanlı üçgen eşkenar üçgendir; beşgen, düzgün beşgendir; altıgen, düzgün altıgendir.

Türev Alma

Posted on 07 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, Türev AlmaTags , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Türev Alma

TÜREV ALMA

 

1. Türevin Tanımı 1

a, b birer reel sayı olmak üzere,

fonksiyonu verilmiş olsun.

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x0 daki türevi denir.

Ve f'(x0), Df(x0) ya da ile gösterilir. Buna göre,

x – x0 = h alınırsa x ® x0 için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

eşitliği de yazılabilir.

 

2. Türevin Tanımı 2

fonksiyonu için,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

 

Sonuç

 1. f'(a+) = f'(a) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.

 2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.

 3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.

 4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

 

Uyarı

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

 

 

TÜREV ALMA KURALLARI

1. xn nin Türevi

     

 

2. c Sabit Sayısının Türevi

     

 

3. c × f(x) in Türevi

     

 

4. Toplamın Türevi

     

 

5. Farkın Türevi

     

 

6. Çarpımın Türevi

     

 

7. Bölümün Türevi

      

 

Sonuç

 

 

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

verilsin. olmak üzere,

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

 

Sonuç

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur.

Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

 

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi

      

 

10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

     

 

11. Bileşke Fonksiyonun Türevi

     

 

Uyarı

f'(2) gösterimi [f(2)]’ gösterimi ile karıştırılmamalıdır.

f'(2) ¹ [f(2)]’ dir.

Çünkü f'(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f'(x)  in x = 2 için değeridir.

[f(2)]’ gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]’ = 0 dır.

 

Kural

 

 

12. Köklü Fonksiyonun Türevi

     

Kural

 

13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi

     

Kural

 

 

14. Üstel Fonksiyonun Türevi

     

Kural

 

 

15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

fonksiyonu şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.

 

16. Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.

x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fx ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fy ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:

 

17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

     

 

18. Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi olmak üzere,

f'(x) in türevi olan ifadesine

y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.

Benzer şekilde, ifadesine de y = f(x) in n.

mertebeden türevi denir.

 

Kural

 

 

19. Ters Fonksiyonların Türevi

f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

     

 

Kural

Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.

 

 

TÜREVİN ANLAMI

 

A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI

Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,

     

fonksiyonu ile verilsin.

Hareketlinin t anındaki hızı:

     

 

ve t anındaki ivmesi

     

 

olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.

 

B. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

     

y = f(x) fonksiyonunun A(x0, y0) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için:

      m = tana dır.

 

Kural

y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi

A(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir.

f'(x0) = m = tana dır.

 

Kural

Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi,

     

 

olur.

 

Kural

Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi:

     

 

Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi,

 

 

C. ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR

1. Artan Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x1, x2 Î B için,

x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır.

 

2. Azalan Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x1, x2 Î B için,

x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır.

 

Uyarı

Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

 

 

3. Sabit Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x1, x2 Î B için, f(x1) = f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde sabittir.

 

D. EKSTREMUM DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ

1. Ekstremum Noktalar

bir fonksiyon ve
a, b Î A olsun.

Her x Î (a, b) için,

     

olacak şekilde bir

p Î (a, b) varsa, f(p) ye yerel maksimum denir.

 

Her x Î A için,

olacak şekilde bir p Î A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer denir.

bir fonksiyon ve a, b Î A olsun.

Her x Î (a, b) için,

olacak şekilde bir r Î (a, b) varsa, f(r) ye yerel minimum değer denir.

 

Her x Î A için,

olacak şekilde bir r Î A varsa, f(r) ye mutlak minimum değer denir.

 

Tanım

Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir.

 

Kural

Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir.

 

 

2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

h > 0 olmak üzere,

ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.

 

h > 0 olmak üzere,

ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir.

 

Yerel minimum değer, f(x0) dır.

 

Uyarı

Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.

 

Sonuç

Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir.

Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin – den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan – ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.

 

 

3. İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

Kural

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır.

 

Kural

      

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır.

 

 

E. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

1. Konveks Eğriler

f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

[a, b] aralığında f”(x) > 0 ise, f nin grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin yukarısındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.

 

 

2. Konkav Eğriler

f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

a, b] aralığında f”(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.

 

 

3. Dönüm (büküm) Noktası

f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.

Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.

 

Uyarı

x = x0 noktasının dönüm noktası olması, x = x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez. Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir.

x = x0 ın ikinci türevin kökü olması, x = x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez. Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir.

x = x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev tanımlı ise, ikinci türev sıfırdır.

 

Uyarı

     

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir.

 1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır.
Bu aralıkta f'(x) < 0 dır.

 2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f'(x) > 0 dır.

 3. a < x < c için f”(x) > 0 dır.

 4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f'(b) = 0 ve f'(d) = 0 dır.

 5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle,
f”(c) = 0 dır.

Limit ve Süreklilik

Posted on 07 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, Limit ve Süreklilik, LYS Matematik Konularını OkuTags , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Limit ve Süreklilik

LİMİT ve SÜREKLİLİK

 

I. LİMİT

A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA

x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir.

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir.

 

B. LİMİT KAVRAMI

Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:

     

 

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1), … noktalarını göz önüne alalım:

Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4, … giderek a ya yaklaşırken, ordinatları

f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1, … giderek b ye yaklaşır.

Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,

f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve

     

 

şeklinde gösterilir.

Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan

E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) , … noktalarını göz önüne alalım.

Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 , … giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 , … giderek d ye yaklaşır.

Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.” şeklinde ifade edebiliriz.

Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve

     

 

biçiminde gösterilir.

 

Kural

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise,

     

biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir.

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur.

 

 

C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT

     

f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.

Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,

     

 

Kural

 

 

D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

Özellik

f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun.

 

Özellik

 

 

Özellik

 

Özellik

 

Özellik

 

 

Özellik

 

 

E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ

Özellik

 

 

 

F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

f(x) = sgn [g(x)] olsun.

 

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.

Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir.

 

 

G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

     

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.

Söz gelimi, fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.

 

 

 

H. NİN x = a DAKİ LİMİTİ

Özellik

 

 

I. TRİGONOMETRİK  FONKSİYONLARIN LİMİTİ

1. sinx in ve cosx in limiti

sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

     

 

olur.

 

2. tanx in limiti

tanx fonksiyonu olmak üzere,

koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

     

 

olur.

 

Sonuç

 

 

 

3. cotx in limiti

cotx fonksiyonu olmak üzere, koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

     

 

olur.

 

Sonuç

 

 

 

J. BELİRSİZLİK DURUMLARI

     

belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.

 

Kural

 

 

Kural

m, n Î N olmak üzere,

olur.

 

Kural

a > 0 olmak üzere, ¥¥ belirsizliği olan limitler,

 

kuralını kullanarak hesaplanabilir.

 

Kural

     

Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği veya belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir.

 

Kural

 

 

II. SÜREKLİLİK

Kural

     

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir.

 

 

Sonuç

y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,

     

 

Uyarı

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir.

 

Kural

 1. Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir.

 2. Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir.

 3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir.

 

Özel Tanımlı Fonksiyonlar

Posted on 07 Ocak 201207 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, Özel Tanımlı FonksiyonlarTags , , , , ,   Leave a comment on Özel Tanımlı Fonksiyonlar

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

 

A. BİR FONKSİYONUN TANIM KÜMESİ

Kuralı verilmiş bir fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş reel sayı kümesine o fonksiyonun tanım kümesi (tanım aralığı) denir.

 

1. Polinom Fonksiyonun Tanım Kümesi

f(x) = an xn + an – 1 xn – 1 + …+ a1x + a0

şeklindeki reel katsayılı polinom fonksiyonları bütün reel sayılar için tanımlıdır.

Tanım kümesi A ile gösterilirse, polinom fonksiyonlarının tanım kümesi olur.

 

2. Rasyonel Fonksiyonların Tanım Kümesi

şeklindeki rasyonel fonksiyonlar

Q(x) = 0 için tanımsızdır.

Q(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi (tanım aralığı) olur.

 

3. Çift Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere, şeklindeki fonksiyonlar g(x) ³ 0 için tanımlıdır.

g(x) ³ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi A = B dir.

 

4. Tek Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere,

     

fonksiyonu, g(x) in tanımlı olduğu her yerde tanımlıdır. g(x) in tanım kümesi B ise f(x) in tanım kümesi (aralığı) A = B dir.

 

B. PARÇALI FONKSİYONLAR

Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar adı verilir.

 

C. MUTLAK DEĞER FONKSİYONU

f : A ® B fonksiyonu reel değerli bir fonksiyon olsun.

şeklinde tanımlanan |f| fonksiyonuna f fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Kural

Mutlak değerin tanımına göre, f(x) in negatif olmadığı yerde |f(x)| in grafiği f(x) in grafiği ile aynıdır. f(x) in negatif olduğu yerde |f(x)| in grafiği f(x) in grafiğinin Ox eksenine göre simetriğidir.Bu durumda, y = |f(x)| in grafiğini iki adımda çizebiliriz.

1. Adım: y = f(x) in grafiği çizilir.

2. Adım : Ox ekseninin üst tarafında kalan eğri aynen bırakılır. Ox ekseninin altında kalan kısmın Ox eksenine göre simetriği alınır.

 

 

D. İŞARET FONKSİYONU

den ye bir fonksiyon olmak üzere,

     

şeklinde tanımlanan fonksiyona f nin işaret fonksiyonu denir.

 

E. TAM DEĞER FONKSİYONU

1. Tam Değer Kavramı

x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya x in tam değeri denir ve ile gösterilir. x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayı t ise,

     

olur.

 

2. Tam Değer Fonksiyonu

     

şeklinde tanımlanan fonksiyona tam değer fonksiyonu denir.

 

Kural

Matris ve Determinant

Posted on 07 Ocak 201207 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, Matris ve DeterminantTags , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Matris ve Determinant

MATRİS ve DETERMİNANT

 

A. MATRİSİN TANIMI

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde
(m tane satır ve n tane sütun) bir
matris denir.

Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

     

 

elemanları, A matrisinin 1. satırını oluşturmaktadır.

 

elemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır.

Burada aij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.

Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

 

B. MATRİS ÇEŞİTLERİ

1. Sıfır Matrisi

Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

 

2. Kare Matrisi

     

Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir.

A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

 

3. Birim Matris

     

Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Yandaki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.

 

C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ

Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

 

D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)

Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.

Bir A matrisinin transpozu AT ya da Ad biçimlerinden biri ile gösterilebilir.

 

 

E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI

Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.

     

 

F. MATRİSLERİN TOPLAMI

Aynı türden matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.

     

 

 

G. MATRİSLERİN FARKI

Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.

     

 

Özellik

 1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır.) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.)

 3. A + O = O + A = A (Sıfır matrisi toplamaya göre birim (etkisiz) elemandır.)

 4. A + (–A) = O (–A matrisi A matrisinin toplamaya göre tersidir.)

 5. (A + B)T = AT + BT

 6. (A – B)T = AT – BT

 7. k × (A + B) = k × A + k × B

 8. k × (A – B) = k × A – k × B

 9. (k + p) × A = k × A + p × A

 10. k × (p × A) = (k × p) × A

 

 

H. İMATRİSİN DETERMİNANTI

A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,
B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.

m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.

Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

 

Özellik

 1. A × B ¹ B × A (Değişme özelliği yoktur. Ancak bazı özel durumlarda eşitlik olabilir.)A × I = I × A

Am × An = Am + n

A–1 × A = A × A–1

 2. A × (B × C) = (A × B) × C (Birleşme özelliği vardır.)

 3. A × (B + C) = A × B + A × C

(B + C) × A = B × A + C × A

  Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliği vardır.

 4. A × B = O ise A = O veya B = O olması gerekmez.

 5. A × I = I × A = A (I matrisi çarpmaya göre etkisiz elemandır.)

 6. A × B = B ise A = I olması gerekmez.

 7. (A × B)T = BT × AT

   (A × B × C)T = CT × BT × AT

 

 

I. KARE MATRİSİN KUVVETİ

A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.

Ayrıca,

olur.

Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir.

Kural

2 × 2 boyutundaki bazı özel matrislerin büyük kuvvetleri karşımıza çıkabilir.Bu özel durumların başlıcaları şunlardır:

 

 

J. MATRİSİN DETERMİNANTI

Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.

A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir.

|A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.

 

Kural

Türü ne olursa olsun, birim matrisin determinantı 1 dir.

 

 

1. Sarrus Kuralı

A = [aij]3×3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.

     

 

3 ´ 3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:

1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.

2. Köşegeni oluşturan a11, a22, a33 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

3. Köşegenin hemen altındaki a21, a32, a13 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

4. Aynı yaklaşımla a31, a12, a23 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T1 olsun

6. Diğer köşegeni oluşturan a13, a22, a31 çarpılır; çarpım sola yazılır.

7. Diğer köşegenin hemen altındaki a23, a32, a11 çarpılır; çarpım sola yazılır.

8. Aynı yaklaşımla a33, a12, a21 çarpılır; çarpım sola yazılır.

9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T2 olsun,

   

 

10. A matrisinin determinantı: detA = T1T2 dir.

 

2. İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste aij elemanının minörü Mij olsun.

aij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):

Kural

matrisi verilsin.Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.

i. satıra göre determinant:

 

j. sütuna göre determinant:

 

 

3. Determinantın Özellikleri

Özellik

Bir satır veya bir sütunun tüm elemanları sıfır olan matrislerin determinantı sıfırdır. Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları eşit olan matrisin determinantı sıfırdır.

Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları orantılı olan matrisin determinantı sıfırdır.

Herhangi iki satır veya iki sütunun yerleri değişirse determinantının işareti değişir.

Bir kare matrisin determinantı ile transpozunun determinantı eşittir.

Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, bu matrislerin determinantları çarpımına eşittir.

det(A × B) = detA × detB

Bir kare matrisin kuvvetinin determinantı, determinantının kuvvetine eşittir.

detAn = (detA)n

Bir kare matrisin çarpmaya göre tersinin determinantı, determinantının tersine eşittir.

     

 

A = [aij|m×n matrisinin k ile çarpımının determinantı,
A nın determinantının kn ile çarpımına eşittir.

 

Bir kare matrisin bir satır ve bir sütunun tüm elemanları
k ile çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı ilk matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir.

Bir matrisin herhangi bir satırını k ile çarpıp diğer bir satıra ekleyince veya herhangi bir sütununu k ile çarpıp diğer bir sütuna ekleyince determinantının değeri değişmez.

Sadece bir satır veya bir sütun elemanları farklı olan matrislerin determinantları toplamı, diğer satır veya sütunları aynı olan ve farklı sütunu farklı sütunların toplamı kadar olan yeni matrisin determinantına eşittir.

 

 

K. EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)

Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.

 

L. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ

a = [Aij]m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A–1 biçiminde gösteririz.

Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

 

Kural

 

Özellik

Seriler

Posted on 07 Ocak 201207 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, SerilerTags , ,   Leave a comment on Seriler

SERİLER

 

A. SERİLER

Tanım

(an) reel terimli bir dizi olmak üzere,

sonsuz toplamına seri denir.

an ye serinin genel terimi denir.

Tanım

Serinin ilk n teriminin toplamı olan,

ifadesine serinin n. kismî toplamı denir.

dizisine serinin kısmî toplamlar dizisi denir.

 

Kural

Bir serinin değeri (toplamı), kısmî toplamlar dizisinin limitine eşittir.

     

 

Tanım

Kısmî toplamlar dizisi yakınsak olan seriye yakınsak seri, kısmî toplamlar dizisi ıraksak olan seriye ıraksak seri denir. serisinin kısmî toplamlar dizisi (Sn) olsun.

 1. (Sn) dizisi ıraksak ise serisi de ıraksaktır.

 2. (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır.

 

Kural

 1. serisi yakınsak ise lim(an) =0 dır. 2. lim(an) = 0 iken yakınsak olmayabilir.

 3. lim(an) ¹ 0 iken ıraksaktır.

 

 

B. ARİTMETİK SERİLER

(an) dizisi bir aritmetik dizi ise,

     

serisine aritmetik seri denir.

Aritmetik serinin n. kismî toplamı:

 

C. GEOMETRİK SERİLER

(an) dizisi bir geometrik dizi ise,

     

serisine geometrik seri denir.

geometrik serisinin n. kismî toplamı:

 

Kural

     geometrik serisinde;|r| ³ 1 ise seri ıraksaktır.

|r| < 1 ise seri yakınsaktır.

Yakınsak ise, serinin toplamı:

 

Diziler

Posted on 07 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, Diziler, LYS Matematik Konularını OkuTags , , ,   Leave a comment on Diziler

A. TANIM

Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi adı verilir.

     

 

fonksiyonununda,

     

 

olduğuna göre,

     

 

biçiminde yazılabilir.

f fonksiyonu (dizisi) genel olarak,

     

 

biçiminde veya kısaca (an) biçiminde gösterilir.

a1, dizinin 1. terimi (ilk terimi);

a2, dizinin 2. terimi;

a3, dizinin 3. terimi;

an, dizinin n. terimi (genel terimi) dir.

 

Uyarı

 1. Genel terimi belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana getirmezler.

 2. Diziler değer kümesine göre adlandırılır. Değer kümesi; reel sayılar kümesi olan dizi reel sayı dizisi, karmaşık sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını alır.

 

 

B. SONLU DİZİ

Tanım kümesi Ak olan dizilere sonlu dizi denir.

 

C. SABİT DİZİ

Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.

 

D. EŞİT DİZİ

Her n pozitif tam sayısı için,

      an = bn

 

ise, (an) ve (bn) dizilerine eşit diziler denir.

 

E. DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER

(an) ve (bn) birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere,

 

F. MONOTON DİZİLER

Genel terimi an olan bir dizide eğer her için,

 

Uyarı

dizisinin monotonluk durumu aşağıdaki şekilde incelenir:

 1. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur.

 Bu durumda,

 a) ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır.

 b) ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır.

 c) ad – bc = 0 ise dizi sabittir.

 2. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizi monoton değildir.

 

 

G. ALT DİZİ

Bir (an) dizisi verilmiş olsun.

(kn) artan bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere, dizisine (an) dizisinin alt dizisi denir ve biçiminde gösterilir.

 

H. DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI

1. Komşuluk

a ve e birer reel sayı ve e > 0 olmak üzere,

     

açık aralığına a nın e (epsilon) komşuluğu denir.

Bu aralığı (kümeyi) T ile gösterirsek,

     

olur.

T kümesi sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir.

     

Uyarı

 1. (an) dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri,

        

      eşitsizliğini sağlar.

 2. (an) dizisinin, a nın e komşuluğu dışındaki terimleri,

      eşitsizliğini sağlar.

 

 

I. YAKINSAK DİZİLER ve IRAKSAK DİZİLER

(an) bir reel sayı dizisi, a sabit bir reel sayı olsun.

Her e pozitif reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda bulunuyorsa, (an) dizisi a ya yakınsıyor denir.

(an) dizisi a sayısına yakınsıyorsa; (an) dizisine yakınsak dizi denir.

Yakınsak olmayan dizilere ıraksak diziler denir.

 

J. DİZİLERİN LİMİTİ

1. Limitin Tanımı

(an) bir reel sayı dizisi olsun.

(an) dizisi sabit bir a reel sayısına yakınsıyor ise, a sayısına (an) dizisinin limiti denir.

      lim(an) = a ya da (an) ® a

biçiminde gösterilir.

 

Kural

 1. (an) dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa, bu dizinin her alt dizisi de a reel sayısına yakınsar. Bunun karşıtı doğru değildir.

 2. Bir dizinin limiti varsa bir tanedir.

 3. olmak üzere, (an) = (c) ise,

          lim(an) = lim(c) = c dir.

     (Her sabit dizi yakınsaktır.)

 

 

2. Limitle İlgili Özellikler

Kural

(an) ve (bn) birer dizi; a, b, c birer reel sayı olmak üzere,

 

 

K. GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ

Reel sayılar kümesine, artı sonsuz (+¥) ve eksi sonsuz (–¥) kavramlarının katılmasıyla elde edilen

      [–¥, +¥]

aralığına (kümesine) genişletilmiş reel sayılar kümesi denir.

 

1. Iraksak Diziler

Kural

 1. Her K reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi (+¥) un K komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti (+¥) dur veya (an) dizisi (+¥) a ıraksar denir.

 2. Her K reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi (–¥) un K komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti (–¥) dur veya (an) dizisi (–¥) a ıraksar denir.

 3. (+¥) a veya (–¥) a ıraksayan dizilere ıraksak diziler denir.

 

2. Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde İşlemler

 

Kural

Dizilerin limitleri bulunurken elde edilen,

ifadeleri belirsizdir.

 

Kural

 

Kural

 

Kural

(an) bir dizi; c bir reel sayı olmak üzere,

 

Kural

(an) bir dizi olmak üzere,

     

 

Uyarı

(1n) sabit dizisi ile dizisi birbirine karıştırılmamalıdır.

 

Uyarı

Genel terimi rasyonel kesir olan dizilerin limitinin hesaplanmasında, aşağıdaki sıralama kullanılır.

    

 

Kural

 

Kural

(an) pozitif terimli bir dizi olsun.

 

 

3. Belirsizlik Durumları

a. Belirsizliği

Bu tür belirsizlikleri daha önce verdiğimiz kural yardımı ile sonuçlandırabiliriz.

 

b.  0 . ¥  Belirsizliği

Bu tür belirsizlikler, belirsizliğine dönüştürülerek limit bulunur.

 

c.  ¥¥  Belirsizliği

¥¥ tipindeki belirsizlikleri cebirsel işlemler yaparak giderebiliriz.

 

Kural

Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, (an) dizisinin payı ve paydası ifadesiyle genişletilir.

 

Uyarı

dizisinde (+¥) – (+¥) belirsizliği vardır.

dizisinde belirsizlik söz konusu

değildir. Bu dizide (+¥) + (+¥) durumu vardır.

(+¥) + (+¥) = +¥

olduğu için, bu dizi +¥ a ıraksar.

 

Kural

a > 0 olmak üzere,

 

olur.

 

 

L. SINIRLI DİZİLER

1. Üst Sınır

Her için, an £ M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa (an) dizisine üstten sınırlıdır denir.

M sayısı da bu dizinin üst sınırı adını alır. M den büyük her reel sayı da (an) dizisinin üst sınırıdır.

Üstten sınırlı bir dizinin üst sınırlarından en küçük olanına dizinin en küçük üst sınırı (Eküs) denir.

(an) dizisinin Eküs ü, Eküs(an) biçiminde gösterilir.

 

2. Alt Sınır

Her için, m £ an olacak şekilde bir m reel sayısı varsa (an) dizisine alttan sınırlıdır denir.

m sayısı da bu dizinin alt sınırı adını alır. m den küçük her reel sayı da (an) dizisinin alt sınırıdır.

Alttan sınırlı bir dizinin alt sınırlarından en büyük olanına dizinin en büyük alt sınırı (Ebas) denir.

(an) dizisinin Ebas ı, Ebas(an) biçiminde gösterilir.

 

3. Sınırlı Diziler

Hem alttan hem de üstten sınırlı olan dizilere, sınırlı diziler denir.

 

Uyarı

 1. Sınırlı bir dizide Eküs ve Ebas dizinin elemanı olmayabilir.

 2. Monoton bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, sınırlı olmasıdır.

 3. Yakınsak her dizi sınırlıdır. Bu ifadenin karşıtı doğru olmayabilir.

 4. Monoton ve yakınsak bir dizinin, ilk terimi ile limitinden; büyük olanı Eküs, küçük olanı Ebas tır.

 

Toplam Çarpım Sembolü

Posted on 07 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, Toplam Çarpım SembolüTags , , ,   Leave a comment on Toplam Çarpım Sembolü

TOPLAM SEMBOLÜ

 

A. TANIM

r ile n birer tam sayı, r £ n olmak üzere,

     

olsun. Bu düşünce ile oluşturulan

     

 

terimlerinin toplamını,

     

 

biçiminde gösteririz. ifadesi “k eşittir r den n ye kadar ak sayılarının toplamı” biçiminde okunur.

Bu gösterimde kullandığımız (sigma) harfine toplam sembolü denir.

 

Kural

 

 

 

C. TOPLAM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ

Özellik

 

Özellik

 

Özellik

Kural

ÇARPIM SEMBOLÜ

 

A. TANIM

r ile n birer tam sayı, olmak üzere,

     

 

terimlerinin çarpımını,

     

 

biçiminde gösteririz. ifadesi “k eşittir r den n ye kadar ak sayılarının çarpımı” biçiminde okunur.

 

B. ÇARPIM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ

Kural

 

 

Kural

 

Kural

 

Özellik

Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık

Posted on 07 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, Permütasyon - Kombinasyon - OlasılıkTags , ,   Leave a comment on Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık

KOMBİNASYON

 

KOMBİNASYON (GRUPLAMA)

olmak koşuluyla, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir.

n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, K(n, r), Crn ya da ile gösterilir.

n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı:

Kural

 

Kural

n Î N olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin;

0 elemanlı alt kümelerinin sayısı :

1 elemanlı alt kümelerinin sayısı :

2 elemanlı alt kümelerinin sayısı: 

. . .

n elemanlı alt kümelerinin sayısı: 

olduğundan tüm alt kümelerinin sayısı:

BİNOM AÇILIMI

 

TANIM

n doğal sayı olmak üzere,

eşitliklerine binom açılımı denir.

sayılarına binom kat sayıları denir.

ifadelerinin her birine terim denir.

ifadesinde kat sayı, xn–1 ile yr terimin çarpanlarıdır.

 

Kural

(x + y)n açılımında n + 1 tane terim vardır.

(x + y)n açılımında her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n sayısına eşittir.

(x + y)n ifadesinin kat sayılarının toplamı x ile y yerine 1 yazılarak,

(1 + 1)n = 2n bulunur.

(x + y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için x ile y yerine 0 yazılır.

(x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan r + 1 inci terim:

(x + y)2n nin açılımındaki ortanca terim:

PERMÜTASYON

 

A. SAYMANIN TEMEL KURALI

1. Toplama Kuralı

Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir.

Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.

olmak üzere,

 

Sonuç

Ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

 

2. Çarpma Kuralı

2 tane elemandan oluşan (a1, a2) ifadesine sıralı ikili denir. Benzer biçimde

(a1, a2, a3) ifadesine sıralı üçlü

(a1, a2, a3, a4) ifadesine sıralı dörtlü

. . .

(a1, a2, a3, … , an) ifadesine sıralı n li denir.

A ve B sonlu iki küme olsun

s(A) = m

s(B) = n

olmak üzere,

s(A × B) = s(A) × s(B) = m × n dir.

A × B kümesi birinci bileşenleri A dan ikinci bileşenleri B den alınan sıralı ikililerden oluşur.

 

Sonuç

İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte

      m × n

yolla yapılabilir.

 

 

B. FAKTÖRİYEL

1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.

 

Sonuç

 

 

C. PERMÜTASYON (SIRALAMA)

r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.

n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı :

 

Sonuç

1.  P(n, n) = n!

2.  P(n, 1) = n

 

 

1. Dairesel (Dönel) Permütasyon

n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir.

Elemanlardan biri sabit tutularak n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n – 1)! ile bulunur.

 

2. Tekrarlı Permütasyon

n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, … , nr tanesi de r. çeşitten olsun.

n = n1 + n2 + … + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

 

OLASILIK

 

A. OLASILIK TERİMLERİ

1. Deney

Bir madeni para atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini, bir zar atıldığında sonucun ne olacağını, tespit etme işlemidir.

2. Sonuç

Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) verilen isimdir. Her bir sonuç bir örnek nokta olarak da adlandırılır.

3. Örnek Uzay

Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümedir. Diğer bir ifadeyle örnek noktaların tamamını eleman kabul eden kümedir. (Örnek uzaya evrensel küme de denir.) Örnek uzay genellikle E ile gösterilir.

4. Olay

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine verilen isimdir.

5. İmkansız Olay

E örnek uzayı için boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.

6. Kesin Olay

E örnek uzayına kesin (mutlak) olay denir.

7. Ayrık Olaylar

A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.

A Ç B = Æ ise A ve B olaylarına ayrık olaylar denir.

 

B. OLASILIK FONKSİYONU

E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme K olsun.

P : K ® [0, 1]

şeklinde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A Î K ise P(A) reel sayısına A olayının olasılığı adı verilir.

P fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlar.

1. Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir.

2. Evrensel kümenin meydana gelme olasılığı, P(E) = 1 dir.

3. İmkansız olayların meydana gelme olasılığı P(Æ) = 0 dır.

4. A Î K, B Î K ve A Ç B = Æ ise, P(A È B) = P(A) + P(B) dir.

 

Kural

E örnek uzayında herhangi iki olay A ve B; A nın tümleyeni A olsun. P olasılık fonksiyonu olmak üzere,

1. A Ì B ise P(A) £ P(B) dir.

2. P(A) = 1 – P(A) dır.

3. P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) dir.

 

 

C. EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY

Sonlu bir E = {e1, e2, e3, … , en} örnek uzayı için,

P(e1) = P(e2) = P(e3) = … = P(en)

ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir.

E, eş olumlu örnek uzayı ve A Î E ise A olayının olasılığı,

dır.

 

Kural

n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, bu deneyde örnek uzay 2n elemanlıdır.

 

 

D. BAĞIMSIZ OLAYLAR VE BAĞIMLI OLAYLAR

A ve B aynı örnek uzayına ait olaylar olsun. Bu olaylardan birinin elde edilmesi diğerinin elde edilmesini etkilemiyorsa A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir. Eğer iki olay bağımsız değilse, bu olaylara birbirlerine bağımlıdır denir.

 

Kural

A ve B bağımsız olaylar olmak koşuluyla

P(A) ¹ 0 ve P(B) ¹ 0 ise,

A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı

P(A Ç B) = P(A) × P(B) dir.

A nın veya B nin gerçekleşme olasılığı

P(A birleşimB) = P(A) + P(B) – P(A kesişim B) dir.

 

 

E. KOŞULLU OLASILIK

A ile B, E örnek uzayında iki olay olsun. P(B) > 0 olmak üzere; B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının olasılığına, A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı veya kısaca A nın B koşullu olasılığı denir ve P(A / B) şeklinde gösterilir.

Logaritma

Posted on 07 Ocak 201209 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, Logaritma, LYS Matematik Konularını OkuTags , , , , ,   Leave a comment on Logaritma

LOGARİTMA

 

I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

2y = 24 eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)

Buraya kadar anlatılan bilgiler 6a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.

 

 

A. ÜSTEL FONKSİYONLAR

olmak üzere,

     

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.

a > 0 olduğundan f(x) = ax > 0 olur.

 

B. LOGARİTMA FONKSİYONU

olmak üzere,

     

biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

     

şeklinde gösterilir. Buna göre,

      dir.

y = logax ifadesinde sayısına sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

 

C. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Kural

1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,

 

Kural

Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

 

D. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = logax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir.

     

1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.

1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.

 

Kural

  x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir.

  0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.

 

 

E. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = logax fonksiyonunda taban

= 2,718281828459045235360287471352… alınırsa ( sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

     

İşlemlerde genellikle logex yerine lnx ifadesi kullanılır.

 

II. LOGARİTMALI DENKLEMLER

Özellik

a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem,

logaf(x) = b ise f(x) = ab dir.

logaf(x) = logag(x) ise f(x) = g(x) dir.

Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.

Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.

 

 

III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Kural

logaf(x) in işareti a ya bağlı olduğundan eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki bilgileri kullanırız.

Karmaşık Sayılar

Posted on 07 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, Karmaşık Sayılar, LYS Matematik Konularını OkuTags , , , , , , ,   Leave a comment on Karmaşık Sayılar

KARMAŞIK SAYILAR

 

I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ

Tanım

sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve

ile gösterilir.

 

Uyarı

a, b pozitif gerçel sayı ve

x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,

 

 

A. i NİN KUVVETLERİ

     

olmak üzere,

i0 = 1 dir.

i1 = i dir.

i2 = –1 dir.

i3 = i2 × i1 = (–1) × i = –i dir.

i4 = i2 × i2 = (–1) × (–1) = 1 dir.

i5 = i4 × i1 = 1 × i = i dir.

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

 

Sonuç

Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,

kalan 0 ise, ix ifadesinin eşiti 1,

kalan 1 ise, ix ifadesinin eşiti i,

kalan 2 ise, ix ifadesinin eşiti –1,

kalan 3 ise, ix ifadesinin eşiti –i dir.

Buna göre, n tam sayı olmak üzere,

i4n= 1,

i4n+1 = i,

i4n+2 = –1,

i4n+3 = –i dir.

 

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve olmak üzere,

z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.

Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir. Buna göre,

z = a + bi karmaşık sayısında;

a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,

b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.

z = a + bi ise

Re(z) = a

İm(z) = b

şeklinde gösterilir.

 

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır.

Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani, dir.

 

 

B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural

 

 

C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

 

 

D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

ve  i2 = –1 olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

z karmaşık sayısının eşleniği ile gösterilir.

Buna göre,

 

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir.

Buna göre,

 

Kural

Reel kat sayılı, ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.

 

 

E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,

dir.

 

 

F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

i2 = –1 olmak üzere,

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

2. Çıkarma İşlemi

      z + (–w) = z – w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i2 = –1 olmak üzere,

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda

 

3. Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

z = a + bi ve w = c + dolsun. Buna göre,

 

Sonuç

i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,

     

 

Kural

i2 = –1 ve n tam sayı olmak üzere,

 

4. Bölme İşlemi

z1 × (z2)–1 sayısına z1 in z2 ye bölümü denir ve biçiminde gösterilir.

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,

z1 = a + bi ve z2 = c + di ise,

 

5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler

z1 ve z2 birer karmaşık sayı olmak üzere,

 

G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK

z = a + bi ve w = c + di  olsun.

      |z – w|

ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.

     

z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,

 

Kural

z, değişen değerler alan bir karmaşık sayı; w sabit bir karmaşık sayı ve r, pozitif reel sayı olmak koşuluyla

      |z – w| = r

eşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.

      |z – w| < r

eşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesini belirtir.

 

 

II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

     

z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının argümenti denir ve

      arg(z) ile gösterilir.

olsun. Bu durumda,

şeklinde gösterilir.

Açının esas ölçüsü olan değere de esas argüment denir. Bu durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den ( radyandan) küçük bir değerdir.

Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,

yazılır. Buradan,

 

Sonuç

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. z nin, mutlak değeri (orijine uzaklığı) |z| = r ve esas argümenti q olmak üzere,

      z = |z| × (cosq + isinq)

biçiminde yazılmasına, z karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir.

z = |z| × (cosq + isinq) ifadesi z = r × cisq biçiminde kısaca gösterilebilir.

 

Tanım

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

Karmaşık sayının mutlak değeri ile argümentinden oluşan sıralı ikiliye bu sayının kutupsal koordinatları denir. z nin kutupsal koordinatları (|z|, q) veya (r, q) biçiminde gösterilir.

 

Kural

     

olmak üzere,

Buna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda,

 

Kural

     

olmak üzere,

     

Buna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda,

     

 

Kural

 

Sonuç

 

Sonuç

     

Buna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2pa dır.

 

Kural

z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun.

arg(z – z0) = q

koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.

 

 

A. ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME

z = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r × cis(q + a) olur. Bu durum,

      v = z × (cosa + isina)

biçiminde de ifade edilebilir.

 

Uyarı

Bir karmaşık sayıyı negatif yönde q derece kadar döndürmek, o sayıyı pozitif yönde 360° – q kadar döndürmektir.

 

 

B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ

olmak üzere,

zn = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.

 

Sonuç

z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları birbirinin toplama işlemine göre tersidir.

Yani, z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları z1 ile z2 ise,

z1 = –z2 dir.

 

Kural

zn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, … , (n – 1) yazılarak bulunur.

Trigonometri

Posted on 07 Ocak 2012Categories 10. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, TrigonometriTags , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Trigonometri

TRİGONOMETRİ

I. AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

A. AÇI

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir.

 

B. YÖNLÜ AÇI

Bir açının kenarlarından birini, başlangıç kenarı; diğerini bitim kenarı olarak aldığımızda elde edilen açıya yönlü açı denir.

Açılar adlandırılırken önce başlangıç, sonra bitim kenarı yazılır.

 

Kural

Açının köşesi etrafında, başlangıç kenarından bitim kenarına iki türlü gidilebilir. Bunlardan biri saatin dönme yönünün tersi, ikincisi ise saatin dönme yönünün aynısıdır.

Saatin dönme yönünün; tersi olan yöne pozitif yön, aynı olan yöne negatif yön denir.

Açıların yönü ok yardımıyla belirlenir.

 

 

C. YÖNLÜ YAYLAR

O merkezli çemberde ile bu açının iç bölgesindeki noktaların kümesinin O merkezli çemberle kesişimi AB yayıdır. AB yayı, biçiminde gösterilir.

nın yönü olarak, AOB açısının yönü alınır. Şekildeki AOB açısının yönü pozitif olduğundan, da pozitif yönlüdür.

Pozitif yönlü AB yayında A ya yayın başlangıç noktası, B ye yayın bitim noktası denir.

 

D. BİRİM ÇEMBER

Analitik düzlemde merkezi O(0, 0) (orijin) ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim (trigonometrik) çember denir.

 

Birim çemberin denklemi:

x2 + y2 = 1dir.

 

E. AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ

Bir açının ölçüsünün büyüklüğünü veya küçüklüğünü tanımlamak için, bir ölçü birimi tanımlanmalıdır. Açıyı ölçmek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir.

Genellikle iki birim kullanılır. Bunlar; derece ve radyandır.

 

1. Derece

Bir tam çember yayının 360 eş parçasından birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir. Ve 1° ile gösterilir.

 

2. Radyan

Yarıçap uzunluğuna eşit uzunluktaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.

 

Uyarı

Birim çemberin çevresi 360° veya 2p radyan olduğu için, 360° = 2p radyan dır.

 

Kural

Derece D ile radyan R ile gösterilirse,

     

 

 

F. ESAS ÖLÇÜ

olmak üzere, birim çember üzerinde a açısı ile
a + k × 360° açısı aynı noktaya karşılık gelmektedir. Buna göre,

olmak üzere, ölçüsü

      a + k × 360°

olan açının esas ölçüsü a derecedir.

Açının birimi ne olursa olsun, esas ölçü negatif yönlü olamaz. Diğer bir ifadeyle esas ölçü [0°, 360°) aralığındadır.

Derece cinsinden verilen pozitif açılarda, açı 360° ye bölünür. Elde edilen kalan esas ölçüdür.

Derece cinsinden verilen negatif yönlü açılarda, açının mutlak değeri 360° ye bölünür; kalan 360° den çıkarılarak esas ölçü bulunur.

Radyan cinsinden verilen açılarda açının içerisinden 2p nin katları atılır. Geriye kalan esas ölçüdür.

Radyan cinsinden verilen negatif yönlü açıların esas ölçüsü bulunurken, verilen açı pozitif yönlü açı gibi düşünülerek esas ölçü bulunur. Bulunan değer 2p den çıkarılır.

nin esas ölçüsü aşağıdaki yolla da bulunabilir. a sayısı b nin 2 katına bölünür. Kalan p nin kat sayısı olarak paya yazılır payda aynen yazılır.
a nın b nin 2 katına bölümünden kalan k ise nin esas ölçüsü dir.

 

II. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

A. KOSİNÜS FONKSİYONU

Bir x reel sayısını cosx e dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olmak üzere, P noktasının apsisine, a reel (gerçel) sayısının kosinüsü denir ve cosa ile gösterilir.

x = cosa dır.

Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı), [–1, 1] dir. Yani, her için,

–1 £ cosa £ 1 dir.

 

B. SİNÜS FONKSİYONU

Bir x reel sayısını sinx e dönüştüren fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olsun. P noktasının ordinatına, a reel (gerçel) sayısının sinüsü denir ve sina ile gösterilir.

y = sina

Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı), [–1, 1] dir. Yani, her için,

–1 £ sina £ 1 dir.

 

Sonuç

Şekilde,

A(1, 0) olduğundan, cos0° = 1 ve sin0° = 0 dır.

B(0, 1) olduğundan, cos90° = 0 ve sin90° = 1 dir.

C(–1, 0) olduğundan, cos180° = –1 ve sin180° = 0 dır.

D(0, –1) olduğundan, cos270° = 0 ve sin270° = –1 dir.

 

Kural

Şekilde,

x = cosa, y = sina

|OK| = sina ve

|OH| = cosa olduğuna göre, OHP dik üçgeninde;

|OH|2 + |PH|2 = 12

      cos2a + sin2a = 1 dir.

 

 

C. TANJANT FONKSİYONU

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olsun. [OP nın x = 1 doğrusunu kestiği T noktasının ordinatına, a reel (gerçel) sayısının tanjantı denir ve tana ile gösterilir.

x = 1 doğrusuna tanjant ekseni denir.

 

t = tana dır.

 

D. KOTANJANT FONKSİYONU

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olsun. [OP nın y = 1 doğrusunu kestiği K noktasının apsisine, a reel (gerçel) sayısının kotanjantı denir ve cota ile gösterilir.

y = 1 doğrusuna kotanjant ekseni denir.

 

c = cota

 

Sonuç

(T.sız: Tanımsız)

 

Koordinat Sisteminde, Birim Çemberdeki Dört Bölgeye Göre Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonlarının İşaretleri

Kural

Uyarı

cosa nın işaretinin sina nın işaretine bölümü cota nın işaretini; sina nın işaretinin cosa nın işaretine bölümü tana nın işaretini verir.

4 bölgede de tana ile cota nın işareti aynıdır.

 

 

E. KOSEKANT, SEKANT FONKSİYONU

Birim çember üzerinde olmak üzere,

P noktasındaki teğetin y eksenini kestiği noktanın ordinatına, a reel (gerçel) sayısının kosekantı denir ve csca ile ya da coseca gösterilir.

P noktasındaki teğetin x eksenini kestiği noktanın apsisine, a reel (gerçel) sayısının sekantı denir ve seca ile gösterilir.

 

c = coseca

s = seca

 

Kural

 

Sonuç

  cosecx ve secx in sonucu (–1, 1) aralığındaki sayılara eşit olamaz.

  1 + tan2x = sec2x

  1 + cot2x = cosec2x

 

 

F. DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

BCA dik üçgeninde, aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.

Sonuç

Ölçüleri toplamı 90° olan (tümler) iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına; birinin sekantı, diğerinin kosekantına eşittir. Buna göre,

     

Bazı dar açıların trigonometrik değerleri aşağıda verilmiştir. Bu değerlerin çok iyi bilinmesi soruları daha hızlı çözmenizi sağlar.

 

Kural

x açısı; dar açı olarak kabul edilmek üzere, trigonometrik değerin hangi bölgede olduğu bulunur. Daha sonra, fonksiyonun o bölgedeki işareti belirlenir. Eşitliğin iki tarafında fonksiyonların adı aynı olur.

 

Kural

x açısı; dar açı olarak kabul edilmek üzere, trigonometrik değerin hangi bölgede olduğu bulunur. Daha sonra, fonksiyonun o bölgedeki işareti belirlenir. Eşitliğin iki tarafında fonksiyonların adı farklı olur. Bu farklılık, sinüs için kosinüs, kosinüs için sinüs, tanjant için kotanjant, kotanjant için de tanjanttır.

 

Kural

TRİGONOMETRİ 2

 

I. PERİYODİK FONKSİYONLAR

f, A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon olsun.

f : A ® B

Her x Î A için f(x + T) = f(x)

olacak şekilde sıfırdan farklı en az bir T reel sayısı varsa; f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T ¹ 0 reel sayısına f nin periyodu denir. Bu eşitliği gerçekleyen birden fazla T reel sayısı varsa, bunların pozitif olanlarının en küçüğüne f fonksiyonunun esas periyodu denir.

f(x) in esas periyodu T ise, k tam sayı olmak üzere,

f(x) in periyodu k × T dir.

 

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN PERİYOTLARI

olduğu için sinx, cosx, tanx ve cotx fonksiyonları periyodiktir.

sinx ve cosx fonksiyonlarının periyodu 2kp, tanx ve cotx fonksiyonlarının periyodu kp dir.

sinx ve cosx fonksiyonlarının esas periyodu (k = 1 için) 2p; tanx ve cotx fonksiyonlarının esas periyodu p dir.

 

Kural

a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak üzere,

f(x) = a + b × sinm(cx + d)

g(x) = a + b × cosm(cx + d)

fonksiyonlarının esas periyotları T olsun.

Bu durumda,

olur.

 

Kural

a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak üzere,

f(x) = a + b × tanm(cx + d)

g(x) = a + b × cotm(cx + d)

fonksiyonlarının esas periyotları T olsun.

Bu durumda,

 

Kural

     

fonksiyonlarının esas periyodu, g(x) ve h(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una) eşittir.

 

Uyarı

Buradaki kesirleri en sade biçimde olmalıdır.

 

Uyarı

f(x) = h(x) × g(x) olmak üzere, f(x) in esas periyodu, h(x) ve g(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una) eşit olmayabilir.

Eğer, f(x) = h(x) × g(x) in esas periyodu bulunacaksa, f(x) i fonksiyonların toplamı biçiminde yazarız. Sonrada toplanan fonksiyonların esas periyotlarının en küçük ortak katı alınır.

Yukarıdaki açıklamalar bölünen fonksiyonlar için de geçerlidir.

 

 

II. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri çizilirken,

1. Fonksiyonun esas periyodu bulunur.

2. Bulunan periyoda uygun bir aralık seçilir.

3. Seçilen aralıkta fonksiyonun değişim tablosu yapılır. Bunun için, fonksiyonun bazı özel reel sayılarda alacağı değerlerin tablosu yapılır. Tabloda fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden küçük ise (aldığı değer artmış ise) o aralığa sembolünü yazarız. Eğer, fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden büyük ise (aldığı değer azalmış ise) o aralığa sembolünü yazarız.

4. Seçilen bir periyotluk aralıkta fonksiyonun grafiği çizilir. Oluşan grafik, fonksiyonun periyodu aralığında tekrarlanacağı unutulmamalıdır.

 

A. SİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

     

fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.

 

B. KOSİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.

 

Sonuç

fonksiyonu bire bir ve

örtendir.

fonksiyonu bire bir ve

örtendir.

 

 

C. TANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

     

fonksiyonunun grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.

 

D. KOTANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

     

fonksiyonunun grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.

 

Sonuç

fonksiyonu bire bir ve

 

örtendir.

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

 

 

III. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

A. ARKSİNÜS FONKSİYONU

f(x) = sinx fonksiyonunun tanım aralığı alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

Bu durumda,

fonksiyonunun tersi,

f–1(x) = sin–1x veya f–1(x) = arcsinx

şeklinde gösterilir ve

 

B. ARKKOSİNÜS FONKSİYONU

f(x) = cosx fonksiyonunun tanım aralığı

[0, p] alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda,

f : [0, p] ® [–1, 1]

f(x) = cosx

fonksiyonunun tersi,

f–1(x) = cos–1x veya f–1(x) = arccosx

şeklinde gösterilir ve

arccos : [–1, 1] ® [0, p] dir.

 

C. ARKTANJANT FONKSİYONU

f(x) = tanx fonksiyonunun tanım aralığı

alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

 

Bu durumda,

fonksiyonunun tersi,

f–1(x) = tan–1x veya f–1(x) = arctanx

şeklinde gösterilir ve

 

D. ARKKOTANJANT FONKSİYONU

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

fonksiyonuna cotx in ters fonksiyonu denir. Kotanjant fonksiyonunun tersi,

şeklinde gösterilir.

 

Sonuç

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun ters fonksiyonu fonksiyonun kendisine eşittir.

sin(arcsinx) = x tir.

cos(arccosx) = x tir.

tan(arctanx) = x tir.

cot(arccotx) = x tir.

 

Sonuç

q = arcsinx ise, x = sinq dır.

q = arccosx ise, x = cosq dır.

q = arctanx ise, x = tanq dır.

q = arccotx ise, x = cotq dır.

 

 

IV. ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

A. SİNÜS TEOREMİ

Kural

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c; çevrel çemberinin yarıçapı R birim olmak üzere,

 

B. KOSİNÜS TEOREMİ

Kural

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,

a2 = b2 + c2 – 2 × b × c × cosA dır.

b2 = a2 + c2 – 2 × a × c × cosB dir.

c2 = a2 + b2 – 2 × a × b × cosC dir.

 

C. ÜÇGENİN ALANI

Sonuç

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,

I. İKİ YAY TOPLAMININ veya FARKININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

 

Kural

 

Uyarı

 

Kural

olmak üzere, a × sinx + b × cosx in alabileceği;

en büyük değer

en küçük değer dir.

 

 

II. YARIM AÇI FORMÜLLERİ

Kural

 

 

III. DÖNÜŞÜM ve TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

A. DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

Toplam durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarpım biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

Kural

 

Uyarı

 

 

B. TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

Çarpım durumundaki trigonometrik ifadeleri, toplam biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere ters dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

Kural


 

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

İçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonları bulunan, bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere, trigonometrik denklemler denir. Denklemi sağlayan değerlere, denklemin kökleri; köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir. Çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere de denklemi çözme denir.

 

A. cosx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Kosinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.

olmak üzere,

C noktasına a + k × 2p ve

D noktasına –a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.

Bu durumda, cosx = a nın çözüm kümesi,

olur.

 

Sonuç

cosx = cosa biçimindeki denklemlerin çözüm kümesi:

     

dir.

 

B. sinx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Sinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.

olmak üzere,

C noktasına a + k × 2p ve

D noktasına p – a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.

Bu durumda,

sinx = a nın çözüm kümesi,

olur.

 

C. tanx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Tanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.

olmak üzere,

C noktasına a + k × 2p ve

E noktasına

p + a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.

Her iki açının da tanjant eksenindeki görüntüsü D noktasıdır.

Tanjant fonksiyonunun esas periyodu p olduğundan tanx = a nın çözüm kümesi,

     

 

D. cotx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Kotanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.

olmak üzere,

C noktasına,

a + k × 2p ve

E noktasına,

p + a + k × 2p

reel sayısı karşılık gelir.

Her iki açının da kotanjant eksenindeki görüntüsü D noktasıdır.

Kotanjant fonksiyonunun esas periyodu p olduğundan cotx = a nın çözüm kümesi,

Uyarı

Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki kökü istendiğinde, denklemin çözüm kümesi bulunur. Daha sonra k yerine, … , –1, 0, 1, … tam sayıları yazılarak kökler bulunur. Bu köklerden verilen aralıkta olanları alınır.

Eşitsizlikler

Posted on 07 Ocak 2012Categories 10. Sınıf Matematik, Eşitsizlikler, LYS Matematik Konularını OkuTags , , ,   Leave a comment on Eşitsizlikler

EŞİTSİZLİKLER

 

A. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER

  olmak üzere,

şeklindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik adı verilir. Eşitsizliği çözmek için f(x) = ax + b fonksiyonunun tablosu yapılır. Eşitsizliği sağlayan aralık bulunur.

f(x) = ax + b fonksiyonunun işaret tablosu aşağıda verilmiştir.

ax + b = 0 denkleminin kökü dır.

 

B. KISA YOLDAN FONKSİYONUN İŞARETİNİN İNCELENMESİ

Kısalığından dolayı bütün eşitsizliklerin çözüm yolunu kolayca bulabileceğiniz bir yaklaşım vereceğiz.

f(x), çarpım veya bölüm fonksiyonu olsun.

Tablo oluştururken sırasıyla şu işlemler yapılır:

1) f(x) in payı ile paydasını sıfır yapan değerler bulunup sırasıyla tabloya yazılır.

2) (Eşitsizliğin tanımı gözönüne alınarak) pay ile paydayı sıfır yapan değerlerden tek sayıda olanlarına tek katlı kök, çift sayıda olanlarına çift katlı kök denir.

3) Her bileşenin en büyük dereceli terimlerinin işaretleri çarpılarak veya bölünerek f(x) in işareti bulunur.

4) Tablodaki en büyük kökün sağındaki kutuya f(x) in işareti yazılır.

5) Tek katlı köklerin soluna sağındaki işaretinin tersi, çift katlı köklerin soluna sağındaki işaretin aynısı yazılır.

 

Kural

  ax2 + bx + c > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, ise, (a > 0 ve D = b2 – 4ac < 0) dır.

ax2 + bx + c < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, ise, (a < 0 ve D = b2 – 4ac < 0) dır.

 

Uyarı

     

gibi eşitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken, içler dışlar çarpımı yapılamaz. Çünkü paydadaki f(x), h(x) ve m(x) in pozitif ya da negatif olduğunu bilmiyoruz.

 

Uyarı

     

gibi eşitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken, g(x) = 0 ın kökleri kesri tanımsız yapacağından çözüm kümesine dahil edilmez.

 

 

C. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN İŞARETLERİNİN İNCELENMESİ

ax2 + bx +c = 0 denkleminin köklerinin varlığını D, köklerinin işaretini belirler.

a × c < 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır.

a × c > 0 ise denklemin denklemin köklerinin varlığı ile ilgili kesin bir şey söylenemez.

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.

Zıt işaretli köklerin olması için, olmalıdır.

(x1 < 0 < x2 ve |x1| > x2) olması için, olmalıdır.

(x1 < 0 < x2 ve |x1| < x2) olması için, olmalıdır.

Köklerin aynı işaretli olması için, olmalıdır.

0 < x1 < x2 olması için, olmalıdır.

x1 < x2 < 0 olması için, olmalıdır.

İkinci Dereceden Denklemler

Posted on 07 Ocak 2012Categories 10. Sınıf Matematik, İkinci Dereceden Denklemler, LYS Matematik Konularını OkuTags , , , , ,   Leave a comment on İkinci Dereceden Denklemler

II. DERECEDEN DENKLEMLER

 

A. TANIM

a, b, c reel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

      ax2 + bx + c = 0

ifadesine x e göre düzenlenmiş ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan (varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi (doğruluk kümesi), çözüm kümesini bulmak için yapılan işleme de denklem çözme denir.

 

B. DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ

1. Çarpanlara Ayırma Yoluyla Denklem Çözme

İkinci dereceden denklemin çözüm kümesi, kolaylıkla görülebiliyorsa, çarpanlarına ayrılarak bulunur. Bunun için,

olmak üzere,

a × b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) olduğu göz önüne alınacaktır.

 

2. Formül Kullanarak Denklem Çözme

ax2 + bx + c = 0 denkleminin sol tarafı kolayca çarpanlara ayrılamayabilir. Bu durumda, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin çözümü için genel bir yaklaşıma ihtiyaç vardır.

ax2 + bx + c = 0 denkleminde,

      D = b2 – 4ac

ifadesine, denklemin diskiriminantı denir.

1) D > 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır.

Bu kökler,

   

2) D = 0 ise denklemin eşit iki reel kökü vardır.

Bu kökler,

 
Denklemin bu köküne çift katlı kök ya da çakışık kök denir.

3) D < 0 ise denklemin reel kökü yoktur. Bu durumda denklemin karmaşık iki farklı kökü vardır.

 

C. İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEME DÖNÜŞEBİLEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ

1. Polinomların Çarpımı Veya Bölümü Şeklindeki Denklemlerin Çözümü

2. Yardımcı Bilinmeyen Kullanılarak Çözülebilen Denklemlerin Çözümü

Verilen denklemde benzer ifadeler yeniden adlandırılarak denklem basitleştirilir. Örneğin

x4 – 10x2 + 9 = 0 denkleminde x2 = t,

22x – 6 × 2x + 8 = 0 denkleminde 2x = u,

(x2 – 2x)2 – (x2 – 2x) – 30 = 0 denkleminde,

x2 – 2x = k,

denkleminde adlandırılması yapılarak çözüme gidilir.

 

3. Köklü Denklemlerin Çözümü

Bir denklemde bilinmeyen, kök içinde bulunuyorsa bu denkleme köklü denklem denir.

Denklemde köklü terim bir tane ise, köklü terim eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır. Sonra kökün derecesine göre kuvvet alınır. Gerekli işlemler yapılarak denklem çözülür. Bulunan köklerden köklü terimi tanımsız yapmayanlar alınır.

 

4. Mutlak Değer İçeren Denklemler

Kök içini sıfır yapan değerlere göre, inceleme yapılarak çözüme gidilir. Örneğin;

|x – 1| + 2x = 5 denkleminde (x £ 1 ve x >1) alınarak çözüme gidilir.

 

D. İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,

     

     

 

E. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KURULUŞU

Kökleri x1 ve x2 olan II. dereceden denklem;

 

Kural

ax2 + bx – c = 0 …

denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. m ¹ 0 olmak üzere, kökleri mx1 + n ve mx2 + n olan ikinci dereceden denklem denkleminde x yerine yazılarak elde edilir.

 

 

 

F. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax3 + bx2 + cx + d = 0

denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 ise,

Kökleri x1, x2 ve x3 olan III. dereceden denklemin kökleri:

Aritmetik dizi oluşturuyorsa;

Geometrik dizi oluşturuyorsa;

Polinomlar

Posted on 07 Ocak 201209 Ocak 2012Categories 10. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, PolinomlarTags , , , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Polinomlar

POLİNOMLAR

 

A. POLİNOMLAR

olmak üzere,

      P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xn

biçimindeki ifadelere x değişkenine göre, düzenlenmiş reel kat sayılı polinom (çok terimli) denir.

Burada, a0, a1, a2, … an reel sayılarına polinomun kat sayıları,

a0, a1 × x , a2 × x2 , … , an × xn ifadelerine polinomun terimleri denir.

an × xn terimindeki an sayısına terimin kat sayısı, x in kuvveti olan
n sayısına terimin derecesi denir.

Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir. Derecesi en büyük olan terimin kat sayısına ise polinomun baş kat sayısı denir.

Polinomlar kat sayılarına göre adlandırılırlar. Kat sayıları reel sayı olan polinomlara reel kat sayılı polinom, kat sayıları rasyonel sayı olan polinomlara rasyonel kat sayılı polinom, kat sayıları tam sayı olan polinomlara tam kat sayılı polinom denir.

 

Tanım

olmak üzere, P(x) = c biçimindeki polinomlara, sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 (sıfır) dır.

 

Tanım

P(x) = 0 biçimindeki polinoma, sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

 

Polinomların Eşitliği

Aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan polinomlar eşittir.

 

B. POLİNOMLARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

İki polinom toplanırken; dereceleri aynı olan terimlerin kat sayıları kendi aralarında toplanır, sonuç o terimin kat sayısı olarak yazılır.

 

2. Çıkarma İşlemi

      P(x) – Q(x) = P(x) + [–Q(x)]

olduğu için, P(x) polinomundan Q(x) polinomunu çıkarmak, P(x) ile
–Q(x) i toplamaktır. Bunun için çıkarma işlemini, çıkarılacak polinomun işaretini değiştirip toplama yapmak biçiminde ele alabiliriz.

 

3. Çarpma İşlemi

İki polinomun çarpımı; polinomlardan birinin her teriminin diğer polinomun her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimler toplamınarak yapılır.

 

4. Bölme İşleminin Yapılışı

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer şekilde yapılır. Bunun için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:

1) Bölünen ve bölen polinomlar x değişkeninin azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2) Bölünen polinomun soldan ilk terimi, bölen polinomun soldan ilk terimine bölünür. Çıkan sonuç, bölümün ilk terimi olarak yazılır.

3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek şekilde bölünen polinomun altına yazılır.

4) Bölünenin altına yazılan çarpım polinomu, bölünen polinomdan çıkarılır.

5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.

 

Tanım

m > n olmak üzere,der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n olsun.

P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu B(x) olsun.

Buna göre,

der[P(x) + Q(x)] = m,

der[P(x) – Q(x)] = m,

der[P(x) × Q(x)] = m + n,

der[B(x)] = m – n,

der[[P(x)]k] = k × der[P(x)] = k × m,

der[[P(xk)]] = k × der[P(x)] = k × m dir.

 

C. P(x) İN x = k İÇİN DEĞERİ

P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xn

polinomunun x = k için değeri,

P(k) = a0 + a1 × k + a2 × k2 + … +an × kn dir.

 

Kural

      P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xnpolinomunda x = 1 yazılırsa,

P(1) = a0 + a1 + a2 + … + an olur.

Bu durumda P(1) in değeri P(x) polinomunun kat sayıları toplamıdır.

 

Sonuç

Herhangi bir polinomda x yerine 1 yazılırsa, o polinomun kat sayıları toplamı bulunur.Örneğin, P(x + 7) polinomunun kat sayıları toplamı,

P(1 + 7) = P(8) dir.

 

Kural

      P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xnpolinomunda x = 0 yazılırsa,

P(0) = a0 olur.

Bu durumda P(0) ın değeri P(x) polinomunun sabit terimidir.

 

Sonuç

Herhangi bir polinomda x yerine 0 yazılırsa, o polinomun sabit (x ten bağımsız) terimi bulunur.Örneğin, P(2x + 3) polinomunun sabit terimi,

P(0 + 3) = P(3) tür.

 

 

D. P(x) İN (ax + b) İLE BÖLÜNMESİYLE ELDE EDİLEN KALAN

P(x) in ax + b ile bölünmesiyle elde edilen bölüm B(x), kalan K olsun. Buna göre,

 

Yani; P(x) polinomunun ax + b ile bölünmesiyle elde edilen kalanı bulmak için, ax + b = 0 denkleminin kökü olan için P(x) polinomunun değeri olan hesaplanır.

 

Sonuç

P(x) polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(a) dır. P(x + b) polinomunun x – a ile bölümünden kalan
   P(a + b) dir.

P(3x + b) polinomunun x – a ile bölümünden kalan
  P(3 × a + b) dir.

 

E. P(x) İN xn + a İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN

Kural

Derecesi n den büyük olan bir polinomun

xn + a ile bölümünden kalanı bulmak için, xn yerine –a yazılır.

(xn + a = 0 ise, xn= –a)

 

 

F. P(x) İN (x – a) × (x – b) ÇARPIMI İLE BÖLÜNMESİ

Kural

 1) P(x) polinomu (x – a) × (x – b) çarpımı ile tam olarak bölünebiliyorsa x – a ve x – b çarpanları ile de ayrı ayrı tam olarak bölünür.

 2) x – a ve x – b aralarında asal polinomlar olmak üzere;
P(x), bu polinomlara ayrı ayrı tam olarak bölünebiliyorsa, (x – a) × (x – b) çarpımı ile de tam olarak bölünür.

 

 

G. P(x) İN (a × x + b)2 İLE BÖLÜNEBİLMESİ

P(x) polinomu (ax + b)2 ile tam bölünebiliyorsa,

P(x) polinomu ve P'(x) polinomu ax + b ye tam olarak bölünür.
(P'(x), P(x) in türevidir.)

Buna göre, P(x) polinomu (ax + b)2 ile tam bölünebiliyorsa,