Mantık Videolu Konu Anlatımı

Posted on 01 Mart 201304 Eylül 2013Categories 09. Sınıf Matematik, Mantık, Matematik Konuları, Mezun Matematik, YGS Matematik, YGS Matematik Konularını SeyretTags , , , ,   Leave a comment on Mantık Videolu Konu Anlatımı

http://resimalani.com//ogretmen.jpg

Mantık Videolu Konu Anlatımı

Mesut Hoca




 

 

 

Bayram Hoca



 

 

 

İbrahim Hoca

 

 

 

Ahmet Hoca

Mantık – Konu Anlatımı

Posted on 01 Mart 2013Categories 09. Sınıf Matematik, Mantık, Matematik Konuları, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , ,   Leave a comment on Mantık – Konu Anlatımı

2010 yılından beri ygs de karşımıza çıkmaktadır.

9. sınıf konusudur.

Mantık konusundan son 5 yılda 3 soru gelmiştir.

Önerme = Doğru ya da yanlış , kesin hüküm bildiren ifadelerdir.Önermeler p, q, r gibi ifadelerle gösterilir. Önermenin doğruluğu 1 ile yanlışlığı ise 0 ile gösterilir.

p=1 Doğru Önerme
q=0 Yanlış Önerme anlamına gelmektedir.

Değil = Bir önermede belirtilen olayın tersidir Örneğin 2+5=7 – p önermesi olursa p’nin değili (p’ ile gösterilir) 2+5#7 (eşit değil) dir.

V = veya

L =ve

==> = İse

 <==>= ancak ve ancak anlamına gelir.

Veya İşlemi (V)

Bileşenlerinden en az birisi doğru (1) iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır (0).

Tablo

p q p v q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

 

Ve İşlemi (Λ)

Bileşenlerinin her ikisi de doğru (1) iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır (0).

Tablo

p q p Λ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

Veya ile Ve nin Özellikleri

p,q,r önermeleri için:

1) pvp=p
pΛp=p

2) pvq=qvp değişme özellliği
pvq=qvp

3) (pvq)vr=pv(qvr)
(pΛq)Λr=pΛ (qΛr) birleşme özelliği

4) pv(qΛr)=(pvq) Λ (pvr)
pL (qcr)=(pΛq)v(pΛr) dağılma özelliği

De morgan kuralı

(pvq)’=p’Λq’ aynı özellik diğer durumdada geçerlidir.

Kurallar
1)pv1=1
2)pΛ1=p
3)pv0=p
4)pΛ0=0
5)pvp’=1
6)pΛp’=0
7)pv(pvq)=p

İse İşlemi (==>)

Önermede
P doğru q yanlış ise yanlış diğer durumlarda doğrudur.

Tablo

p q p==>q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Özellikler
1) p ==> p=1

2) p ==> 0=p’

3) p ==> p’=p

4) 0 ==> p=1

6) p ==> 1=1

5) 1 ==> p=p

7) p ==> q=p’vq

Ancak ve Ancak (<==>)

p ile q aynı değerde iken doğru diğer durumlarda yanlıştır.

Tablo

 

p q p<==>q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Özellikler

1)p <==> q=q <==> p değişme özelliği
2)p <==> q=(p<==>q) v (q<==>p)

Kurallar
1.p <==> p=1
2.p <==> p’=0
3.p <==> 1=p
4.p <==> 0=p’

Totoloji: Bir önerme daima 1 çıkıyorsa totolojidir.

Çelişki: Bir önerme daima 0 çıkıyorsa çelişkidir.

Önerme Nedir?
Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere, önerme denir. Önermeler genel olarak p, q, r, s, vb. gibi harşerle gösterilir.
p : “Türkiyenin başkenti Ankara’dır.”
q : “Bir yıl 12 aydır.”
r : “İyi günler.”
s: “Tavuk dört ayaklı bir hayvandır.”

Burada p, q ve s ifadeleri birer önermedir. Çünkü doğru veya yanlış bir hüküm bildirmektedir. r ifadesi ise bir önerme değildir. Kesin olarak, doğru veya yanlış bir hüküm bildirmemektedir.

Önermenin Doğruluk Değeri
Bir önerme doğru ise doğruluk değeri “1” veya “D” ile, önerme yanlış ise doğruluk değeri “0” veya “Y” ile gösterilir.

Bileşik Önermeler
Bu bölümde, “veya”, “ve”, “ise”, “ancak ve ancak” bağlaçlarını kullanarak yeni önermeler oluşturacağız. İki veya daha çok önermenin, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi bağlaçlarla bağlanmasından elde edilen yeni önermelere, bileşik önermeler denir. Bileşik olmayan önermelere de basit önerme denir.

Veya (V) Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler ve Özelikleri
pVq bileşik önermesinde, bileşenlerden en az birisi doğru iken doğru, ikisi de yanlış iken yanlıştır.

Ve (Λ) Bağcı ile Kurulan Bileşik Önermeler ve Özeliği
p Λ q bileşik önermesi, p ve q önermelerinin ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

İse (⇒) Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler:
p ⇒ q bileşik önermesinde, p doğru ve q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.

“Ancak ve Ancak” Bağlacı ile Kurulan İki Yönlü Koşullu Önermeler:
p⇔q iki yönlü koşullu önermesi, p ile q nun doğruluk değerleri aynı iken doğru, farklı iken yanlıştır.

alıntıdır.

Matematik Denemesi YGS – 1

Posted on 22 Aralık 201222 Aralık 2012Categories 09. Sınıf Matematik, 12. Sınıf Matematik, Mezun Matematik, YGS Deneme SınavlarıTags , , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Matematik Denemesi YGS – 1
http://resimalani.com//matematikdenemeleri.png

Matematik Denemesi YGS – 1

İndirmek için tıklayınız

Namık KARAYANIK Hocamız a teşekkür ederiz…

Matematik Öğretmeni
MEB Anadolu Lisesi

Matematik Denemesi YGS – 2

Posted on 21 Aralık 201222 Aralık 2012Categories 09. Sınıf Matematik, 12. Sınıf Matematik, Mezun Matematik, YGS Deneme Sınavları, YGS MatematikTags , , , , , , , , ,   Leave a comment on Matematik Denemesi YGS – 2

Matematik Denemesi YGS

http://resimalani.com//matematikdenemeleri.png

 

 

 

 

 

 

Denemeyi İndirmek için tıklayınız

Namık KARAYANIK Hocamız a teşekkür ederiz…

Matematik Öğretmeni
MEB Anadolu Lisesi

 

Yukarıdaki dökümanları açabilmek için Adobe Reader ‘ın 5.0 veya üstü sürümünün sisteminizde yüklü olması gerekmektedir.
 

Kartezyen ve Bağıntı Matematik Konu Anlatımı

Posted on 13 Aralık 201213 Aralık 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı, Matematik Konuları, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Kartezyen ve Bağıntı Matematik Konu Anlatımı

kartezyen çarpımı
Continue reading “Kartezyen ve Bağıntı Matematik Konu Anlatımı”

Milli Eğitim Programları

Posted on 20 Eylül 2012Categories 09. Sınıf Geometri, 09. Sınıf Matematik, 10. Sınıf Geometri, 10. Sınıf Matematik, 11. Sınıf Geometri, 11. Sınıf Matematik, 12. Sınıf Geometri, 12. Sınıf Matematik, 6. Sınıf Matematik, 7. Sınıf Matematik, 8. Sınıf Matematik, Bilgiler, Matematik MüfredatlarıTags , , ,   Leave a comment on Milli Eğitim Programları
Öğretim Kademesi Program Adı Detay İndir
İlköğretim Programı Beden Eğitimi Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Bilişim Teknolojileri Dersi (1-8. Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Din Kültürü ve Ahlâk Bilgisi Dersi (4-8. Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Düşünme Eğitimi Dersi(6-8.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Fen ve Teknoloji Dersi(4-5.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Fen veTeknoloji Dersi(6-8.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Görsel Sanatlar Dersi(1-8.Sınıflar) Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Halk Kültürü Dersi(6. Sınıf) Öğretim Programı ve kılavuzu
İlköğretim Programı Halk Kültürü Dersi(7. Sınıf) Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Halk Kültürü Dersi(8. Sınıf) Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Hayat Bilgisi Dersi(1-3.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı İngilizce Dersi(4-8.Sınıflar) Öğretim Programı ile Seçmeli İng. Dersi Öğretim Programı
İlköğretim Programı Matematik Dersi(1-5. Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Matematik Dersi(6-8.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Medya Okuryazarlığı Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Müzik Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Sanat Etkinlikleri Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Satranç Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Sosyal Bilgiler Dersi(4-5. Sınıflar) Öğretim Programı ve Klavuzu
İlköğretim Programı Sosyal Bilgiler Dersi 6 ve 7. Sınıflar Öğretim Programı ve Klavuzu
İlköğretim Programı Spor Etkinlikleri Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı T.C İnkılâp Tarihi ve Atatürkçülük Dersi Öğretim Programı ve Klavuzu
İlköğretim Programı Tarım Dersi(6-8. Sınıflar) Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Teknoloji ve Tasarım Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı İlköğretim Trafik Güvenliği Dersi Öğretim Programı
İlköğretim Programı Türkçe Dersi(1-5. Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Vatandaşlık ve Demokrasi Eğitimi Dersi (8. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Analitik Geometri Dersi (10-11. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Araştırma Teknikleri Dersi (10. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Beden Eğitimi (9-12. Sınıflar) Ögretim Programı
Ortaöğretim Programı Astronomi ve Uzay Bilimleri Dersi (10-11. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Bilgi Kuramı Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Bilgi ve İletişim Teknolojisi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi 9.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Coğrafya Dersi(9-12.Sınıflar) Öğretim Programı(Değişiklik)
Ortaöğretim Programı Çağdaş Türk ve Dünya tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Dil ve Anlatım Dersi (9-12.Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Din Kültürü ve Ahlak Bilgisi Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ekonomi Dersi Öğretim Programı ve Kurul Kararı
Ortaöğretim Programı Felsefe Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fen Bilimleri Dersi (9-10. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fizik Dersi 10.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fizik Dersi 11.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fizik Dersi 12. Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fizik Dersi 9.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Geometri Dersi (11. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Geometri Dersi (9-10. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Girişimcilik Dersi Öğretim Programı ve Kurul Kararı
Ortaöğretim Programı Görsel Sanatlar Dersi (9-12.Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim İngilizce Dersi (Hazırlık, 9-12. Sınıflar) Öğretim Programları
Ortaöğretim Programı İstatistik Dersi (11. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı İşletme Dersi Öğretim Programı ve Kurul Kararı
Ortaöğretim Programı İtalyanca Dersi(Hazırlık, 9, 10 ve 11. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Mantık Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Matematik Dersi (9-12.Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Müzik Dersi(9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Proje Hazırlama Dersi Öğretim Programı(25.09.2006/371 sayılı Kurul Kararı)
Ortaöğretim Programı Psikoloji Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Sağlık Bilgisi Dersi (9. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim Sanat Tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Sosyal Etkinlik Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Sosyoloji Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı T. C. İnkılap Tarihi ve Atatürkçülük Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Tarih Dersi 10.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Tarih Dersi 11. Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Tarih Dersi 9.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Trafik ve İlkyardım (12. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Edebiyatı (9-12.Sınıflar) Dersi Programı
Ortaöğretim Programı Uluslararası Bakalorya Bilgi Kuramı Dersi Öğretim Programı(23.10.2000/389 sayılı Kurul Kararı)
Ortaöğretim Programı Uluslararası İlişkiler Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Yönetim Bilimi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kanun Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Antrenman Bilgisi
Ortaöğretim Programı Bağlama Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Batı Müziği Koro Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Batı Müziği Tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Beden Eğitimi Bilimine Giriş
Ortaöğretim Programı Beden Eğitimi ve Spor Tarihi
Ortaöğretim Programı Bilişim Destekli Müzik Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Bireysel Ses Eğitimi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Çağdaş Dünya Sanatı Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Çalgı Bakım ve Onarımı Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Desen Çalışmaları Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Eğitsel Oyunlar
Ortaöğretim Programı Estetik Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Flüt Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Geleneksel Türk Müziği Tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Gitar Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Grafik Tasarım Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı İki Boyutlu Sanat Atölye Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı İnsan Anatomisi
Ortaöğretim Programı Keman Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kontrbas Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Eğitimi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Müziğe Giriş Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Müzik Biçimleri Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Müziksel İşitme, Okuma ve Yazma Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Özel Alan Bilgisi
Ortaöğretim Programı Piyano Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ritim Eğitimi ve Dans
Ortaöğretim Programı Sanat Eserlerini İnceleme Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Sanat Tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Spor Dersi
Ortaöğretim Programı Spor Fizyolojisi
Ortaöğretim Programı Spor Kazalarından Korunma
Ortaöğretim Programı Spor Masajı
Ortaöğretim Programı Spor Organizasyonu
Ortaöğretim Programı Spor Psikolojisi
Ortaöğretim Programı Spor Sosyolojisi
Ortaöğretim Programı Spor Tesisleri ve Malzeme Bilgisi
Ortaöğretim Programı Spor ve Beslenme
Ortaöğretim Programı Temel Spor Eğitimi
Ortaöğretim Programı Türk Müziği Koro Eğitimi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Resim, Heykel Sanatı Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Spor Tarihi
Ortaöğretim Programı Ut Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Üç Boyutlu Sanat Atölye Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Viyola Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Viyolonsel Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Eğitim Psikoloji Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Eğitim Sosyolojisi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Öğretim İlke ve Yöntemleri Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Öğretmenlik Mesleğine Giriş Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Eğitim Tarihi Dersi Öğretim Programı
İlköğretim Programı Türkçe 6-8. Sınıflar Öğretim Programı ve Klavuzu
İlköğretim Programı Almanca (4-8.Sınıflar) Dersi Kurul Kararı ve Öğretim Programı
İlköğretim Programı Fransızca (4-8.Sınıflar) Dersi Kurul Kararı ve Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim Rehberlik ve Yönlendirme Dersi (9-12. Sınıflar) Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (10. Sınıf 2 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (10. Sınıf 3 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (11. Sınıf 2 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (11. Sınıf 4 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (12. Sınıf 2 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (12. Sınıf 3 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim Fransızca Dersi (Hazırlık, 9-12. Sınıflar) Öğretim Programları
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim Almanca Dersi (Hazırlık, 9-12. Sınıflar) Öğretim Programları
Ortaöğretim Programı Sosyal Bilimler Lisesi Osmanlı Türkçesi Dersi (10,11 ve 12. Sınıflar) Öğretim Programları
İlköğretim Programı Arapça (4-8.Sınıflar) Dersi Kurul Kararı ve Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (9. sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (10.sınıf 2saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (10. sınıf 3 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (11. sınıf 2 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (11. sınıf 4 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (12. sınıf 2 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (12. sınıf 3 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Geometri Desi (12. Sınıflar) Öğretim Progamı
Ortaöğretim Programı Batı Müziği Çalgı Toplulukları (11. ve 12. sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Drama Dersi (10. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Müziği Çalgı Toplulukları
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim 1, 2 ve 3. Yabancı Dil Arapça Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı ve Kurul Kararı
Okul Öncesi Eğitim Programı Okul Öncesi Eğitim Programı
Okul Öncesi Eğitim Programı 0-36 Aylık Çocuklar İçin Eğitim Programı
Ortaokul Programı Kur´an-ı Kerim Dersi (5-8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Hz. Muhammed´in Hayatı Dersi (5-8. Sınıflar) Öğretim Programı
İlkokul Programı Oyun ve Fiziki Etkinlikler Dersi Öğretim Programı (İlkokul 1-4. Sınıflar)
Ortaöğretim Programı Hz. Muhammed´in Hayatı Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kur´an-ı Kerim Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Matematik Uygulamaları Dersi(5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Yaşayan Diller ve Lehçeler Dersi (Kürtçe; 5. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Yaşayan Diller ve Lehçeler Dersi (Adiğece ve Abazaca; 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Yazarlık ve Yazma Becerileri Dersi ( 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Bilişim Teknolojileri ve Yazılım Dersi ( 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Temel Dinî Bilgiler Dersi ( İslam, 1-2) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Temel Dinî Bilgiler Dersi (İslam; 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı (İmam Hatip Ortaokulu)
Ortaöğretim Programı Temel Dinî Bilgiler Dersi (İslam, 1-2) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Drama Dersi (5 ve 6. Sınıflar) Öğretim Programı

 

Hız Problemleri – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Posted on 14 Mayıs 201214 Mayıs 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Hız Problemleri, Konularına Göre Çıkmış ÖSS Soru ve Çözümleri, Matematik Konuları, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , , , ,   Leave a comment on Hız Problemleri – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Hız Problemleri – Çıkmış Soru ve Çözümleri

 
(2000  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

  Continue reading “Hız Problemleri – Çıkmış Soru ve Çözümleri”

Faiz ve Karışım – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Posted on 09 Mart 201209 Mart 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Faiz Problemleri, Karışım Problemleri, Matematik Konuları, YGS Matematik, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags ,   Leave a comment on Faiz ve Karışım – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Faiz ve Karışım

(1990 – 2011)
Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

Continue reading “Faiz ve Karışım – Çıkmış Soru ve Çözümleri”

İşlem – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Posted on 02 Mart 201202 Mart 2012Categories 09. Sınıf Matematik, İşlem, Matematik Konuları, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , , ,   Leave a comment on İşlem – Çıkmış Soru ve Çözümleri

İşlem

(2000  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

  Continue reading “İşlem – Çıkmış Soru ve Çözümleri”

Eşitsizlik– Çıkmış Soru ve Çözümleri

Posted on 27 Şubat 201227 Şubat 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Basit Eşitsizlikler, Eşitsizlikler, Matematik Konuları, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , , , , , Eşitsizlik– Çıkmış Soru ve Çözümleri için 4 yorum

Eşitsizlikler

(2000  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

Kümeler – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Posted on 24 Şubat 201226 Ocak 2014Categories 09. Sınıf Matematik, Konularına Göre Çıkmış ÖSS Soru ve Çözümleri, Kümeler, Matematik Konuları, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , , , , , , , Kümeler – Çıkmış Soru ve Çözümleri için 17 yorum

Kümeler

(2000  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

Çarpanlara Ayırma Özdeşlikler – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Posted on 25 Ocak 201225 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Çarpanlara Ayırma, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları Oku, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , , , , , , , Çarpanlara Ayırma Özdeşlikler – Çıkmış Soru ve Çözümleri için 8 yorum

Çarpanlara Ayırma Özdeşlikler

(2000  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

  Continue reading “Çarpanlara Ayırma Özdeşlikler – Çıkmış Soru ve Çözümleri”

Denklem Çözme, Sayı, Kesir Problemleri İzle

Posted on 24 Ocak 201221 Ekim 2014Categories 09. Sınıf Matematik, Denklem Çözme, Kesir Problemleri, Matematik Konuları, Sayı Problemleri, YGS Matematik, YGS Matematik Konularını SeyretTags , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Denklem Çözme, Sayı, Kesir Problemleri İzle

Denklem Çözme, Sayı, Kesir Problemleri İzle

Continue reading “Denklem Çözme, Sayı, Kesir Problemleri İzle”

Üslü Sayılar İzle

Posted on 23 Ocak 201210 Aralık 2013Categories 09. Sınıf Matematik, 12. Sınıf Matematik, KPSS, Matematik Konuları, Üslü SayılarTags , , , , , , , , , , , , , Üslü Sayılar İzle için bir yorum

Üslü Sayılar Konusunu
Mustafa Ekol,
Lütfi Zorlu,
Detay Hoca,
Nüsret Hoca,
İbrahim Turan Başay
değerli Hocalarımızdan izlebilirsiniz

Continue reading “Üslü Sayılar İzle”

2. ve 3. Dereceden Denklemler – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Posted on 19 Ocak 201202 Ocak 2013Categories 09. Sınıf Matematik, İkinci Dereceden Denklemler, Konularına Göre Çıkmış ÖSS Soru ve Çözümleri, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları Oku, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , , 2. ve 3. Dereceden Denklemler – Çıkmış Soru ve Çözümleri için 3 yorum

2. ve 3. Dereceden Denklemler

 
(2000  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

Continue reading “2. ve 3. Dereceden Denklemler – Çıkmış Soru ve Çözümleri”

İşlem Sırası Nedir ? İşlem Önceliği

Posted on 18 Ocak 201209 Kasım 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Matematik Konuları, Temel Kavramlar, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , , , , , İşlem Sırası Nedir ? İşlem Önceliği için 4 yorum

Önce en iç parantezden başlanarak dışa doğru hesaplamalar yapılır.

Parantez yoksa soldan sağa doğru aşağıdaki sıralamaya göre işlemler yapılır.

Standart İşlem Sırası

1. Üsler-parantezler

2. çarpma-bölme

3. Toplama-çıkarma

Örnekler

1. (4+28/2)/9=(4+[28/2])/9=[4+14]/9=2 \,
2. 2\times4^2=2\times[4^2]=2\times16=32 \,
3. 8/2\times4=(8/2)\times4=[4\times4]=16 \,
4. 7-2-4+1=[7-2]-4+1=[5-4]+1=[1+1]=2 \,
  • 3 + 2 × 4 işleminin sonucu 11 dir. Çünkü çarpma toplamadan önce yapılır. Amaç önce toplamayı yapmaksa parantez kullanılarak işlem sırası değiştirilir. (3 + 2) × 4 = 20.

 

20:[(+7)-1-(+6)]:(-9) = ?

20:[+6-(+6)]:(-9) = ?

20: 0 : -9 ( 0’a bölüm olmadığı için sonuç yoktur ancak bu şekilde bir 4 işlem bir arada problemlerinde işlem öncelikleri yukarıdaki gibi çözülmelidir. )
ÖRNEK: +6÷2(1+2)=+6÷2x(1+2) =6÷2×3 =9

Kaynak: wikipedi

Temel Kavramlar

Posted on 06 Ocak 201209 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Temel Kavramlar, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , ,   Leave a comment on Temel Kavramlar

TEMEL KAVRAMLAR

 

A. SAYI

1. Rakam

Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

 

2. Sayı

Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.

abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.

Her rakam bir sayıdır. Fakat her sayı bir rakam olmayabilir.

 

B. SAYI KÜMELERİ

1. Sayma Sayıları

{1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

 

2. Doğal Sayılar

={0, 1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.

 

3. Pozitif Doğal Sayılar

= {1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir.

Pozitif doğal sayılar kümesi, sayma sayıları kümesine eşittir.

 

4. Tam Sayılar

= {… , – n , … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi : , pozitif tam sayılar kümesi : ve sıfırı eleman kabul eden : {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre, dır.

 

5. Rasyonal Sayılar

a ve b birer tam sayı ve b ¹ 0 olmak koşuluyla biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

biçiminde gösterilir.

 

 

6.Pozitif Doğal Sayılar

Virgülden sonraki kısmı tahmin edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi ile gösterilir.

Buna göre, kümesinin elemanları biçiminde gösterilemez.

(a, b Î ve b ¹ 0)

Hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur.

 

sayıları birer irrasyonel sayıdır.

 

7. Reel (Gerçel) Sayılar

Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir.

biçiminde gösterilir.

 

8. Karmaşık (Kompleks) Sayılar

kümesinin her bir elemanına karmaşık sayı denir.

 

C. SAYI ÇEŞİTLERİ

1. Çift Sayı

olmak koşuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.

Ç = {… , –2n , … , –4, –2, 0, 2, 4, … , 2n , …}

kümesinin elemanlarının her biri çift sayıdır.

 

2. Tek Sayı

olmak koşuluyla 2n + 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.

T = {… , –(2n + 1), … , –3, –1, 1, 3, … , (2n + 1), …} kümesinin elemanlarının her biri tek sayıdır.

 

Ü İki tek sayının toplamı ve farkı çift sayı, çarpımı tek sayıdır.T bir tek sayı olmak üzere,

  • T + T toplamı çift,
  • T – T farkı çift,
  • T × T çarpımı tek

sayıdır.

 

Ü İki çift sayının toplamı, farkı ve çarpımı çift sayıdır.Ç bir çift sayı olmak üzere,

  • Ç + Ç toplamı çift,
  • Ç – Ç farkı çift,
  • Ç × Ç çarpımı çift

sayıdır.

 

Ü Bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı ve farkı tek sayı çarpımı çift sayıdır.T bir tek sayı ve Ç bir çift sayı olmak üzere,

  • T + Ç toplamı tek,
  • Ç + T toplamı tek,
  • T- Ç farkı tek,
  • Ç – T farkı tek,
  • T × Ç çarpımı çift

sayıdır.

 

Ü Tam sayılar kümesinde, bir çarpımın sonucu çift ise, çarpanlardan en az biri çift sayıdır.
Ü Tam sayılar kümesinde, bir çarpımın sonucu tek ise, çarpanlardan her biri tek sayıdır.
Ü Çift sayıların tüm pozitif tam kuvvetleri yine bir çift sayıdır. Buna göre, n pozitif tam sayı ve Ç bir çift sayı olmak üzere, Çn nin sonucu daima çift sayıdır.
Ü Tek sayıların tüm doğal sayı kuvvetleri yine bir tek sayıdır. Buna göre, n bir doğal sayı ve T bir tek sayı olmak üzere, Tn nin sonucu daima tek sayıdır.

Bölme işlemi için yukarıdaki biçimde bir genelleme yapılamaz.

  • Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur.
  • Hem tek hem de çift olan bir sayı yoktur.
  • Sıfır (0) çift sayıdır.

 

3. Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir.

Ü a < b < 0 < c < d  olmak üzere,
  • a, b negatif sayılardır.
  • c, d pozitif sayılardır.
  • İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)
  • İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)
  • Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.
  • Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.
  • Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.
  • Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.
  • Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.
  • Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.
  • Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

 

4. Asal Sayı

Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sayıları birer asal sayıdır.

  • En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.
  • Asal sayıların çarpımı asal değildir.

Asal olmayan, 1 den büyük tam sayılara bileşik sayı denir.

 

5. Aralarında Asal

Ortak bölenlerinin en büyüğü 1 olan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.

a ile b aralarında asal ise, oranı en sade biçimdedir.

 

D. ARDIŞIK SAYILAR

Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.

Ü n bir tam sayı olmak üzere,

  • Ardışık dört tam sayı sırasıyla;

n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.

  • Ardışık dört çift sayı sırasıyla;

2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.

  • Ardışık dört tek sayı sırasıyla;

2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.

  • Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;

3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

 

Bazı Ardışık Sayıların Toplamı

n bir sayma sayısı olmak üzere,

  • l Ardışık sayma sayılarının toplamı
  • Ardışık pozitif çift doğal sayıların toplamı

2 + 4 + 6 + … + (2n) = n(n + 1)

  • Ardışık tek doğal sayıların toplamı

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

  • Artış miktarı eşit olan ardışık tam sayıların toplamı

r : İlk terim

n : Son terim

x : Artış miktarı olmak üzere,

olur.

Artış miktarı eşit olan ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir.

Sayı Sistemleri

Posted on 06 Ocak 201209 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Basamak Kavramı, Sayı Sistemleri, Taban Arritmetiği, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , , , ,   Leave a comment on Sayı Sistemleri

SAYI SİSTEMLERİ

 

A. SAYI BASAMAĞI

Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.

Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır.
243 üç basamaklı bir sayıdır.

 

B. ÇÖZÜMLEME

Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir.

Basamak değerlerinin toplamına o sayının çözümlenmiş biçimi denir.

Üç basamaklı abc sayısı aşağıda çözümlenmiştir.

  • ab = 10 × a + b
  • abc = 100 × a + 10 × b + c
  • aaa = 111 × a
  • ab + ba = 11 × (a + b)
  • ab – ba = 9 × (a – b)
  • abc – cba = 99 × (a – c)
  • abcd = cd + 100 × ab = bcd + 1000 × a

 

C. TABAN

Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir.

T taban olmak üzere,

(abcd)T = a × T3 + b × T2 + c × T + d dir.

Burada,

  • T, 1 den büyük doğal sayıdır.
  • a, b, c, d rakamları T den küçüktür.
  • Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir.
  • (abc,de)T = a × T2 + b × T + c + d × T–1 + e × T–2 dir.

 

1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi

Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.

Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.

 

2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi

Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir.

 

3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması

Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür.

 

4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri

Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.

T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.

Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basa-maktaki rakam 1 azalır.

 

Bölme – Bölünebilme

Posted on 06 Ocak 201209 Ocak 2012Categories 09. Sınıf Matematik, Bölme ve Bölünebilme, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları OkuTags , , , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Bölme – Bölünebilme

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

 

A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

bölme işleminde,

  • A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
  • A = B × C + K dir.
  • Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
  • Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda A ve K değişmez.
  • K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebilir.

 

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

 

  •  2 İle Bölünebilme

 

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

 

  • 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  • 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

… abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

  • … abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  • 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  •  7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 … a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

olmak üzere,

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +…– … = 7k

olmalıdır.

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, … olan sayının (…a5 a4 a3 a2 a1 a0sayısının) 7 ile bölümünden kalan(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +…– … …

işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

Sekiz basamaklı ABCDEFGH sayısının 7 ile bölümünden kalan,(H + 3 × G + 2 × F) – (E + 3 × D + 2 × C) + (B + 3 × A) işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalandır.

 

  • 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, … olan sayının (… abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 × b + 4 × a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  • 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

 

  • 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

 

  • 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… = 11 . k

ve olmalıdır.

Ü (n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0sayısının 11 ile bölümünden kalan(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

  • 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 2 × 3 = 6 ile de tam bölünür.
  • 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 3 × 4 = 12 ile de tam bölünür.

 

  • 4 ve 6 ile tam bölünen sayılar 4 × 6 = 24 ile tam bölünemeyebilir. Çünkü 4 ile 6 aralarında asal değildir.

 

 

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K1 ve

B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.

Buna göre,

  • A × B nin C ile bölümünden kalan K1 × K2 dir.
  • A + B nin C ile bölümünden kalan K1 + K2 dir.
  • A – B nin C ile bölümünden kalan K1 – K2 dir.
  • D × A nın C ile bölümünden kalan D × K1 dir.
  • AE nin C ile bölümünden kalan (K1)E dir.

Yukarıdaki işlemlerde kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

 

D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B × C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B × C ile tam bölünür.) doğru olmayabilir.

  • 144 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
  • 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünemez.

 

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = am . bn . ck  olsun.

Bu durumda aşağıdakileri söyleyebiliriz:

  • A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı,

      (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.

  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir.
  • A sayısının tam sayı bölenleri sayısı,2 × (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
  • A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı,
  • A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
  • A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı,– (a + b + c) dir.
  • A sayısından küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı,
  • A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: