Matematik Denemesi YGS – 1

Posted on 22 Aralık 201222 Aralık 2012Categories 09. Sınıf Matematik, 12. Sınıf Matematik, Mezun Matematik, YGS Deneme SınavlarıTags , , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Matematik Denemesi YGS – 1

http://resimalani.com//matematikdenemeleri.png

Matematik Denemesi YGS – 1

İndirmek için tıklayınız

Namık KARAYANIK Hocamız a teşekkür ederiz…

Matematik Öğretmeni
MEB Anadolu Lisesi

Matematik Denemesi YGS – 2

Posted on 21 Aralık 201222 Aralık 2012Categories 09. Sınıf Matematik, 12. Sınıf Matematik, Mezun Matematik, YGS Deneme Sınavları, YGS MatematikTags , , , , , , , , ,   Leave a comment on Matematik Denemesi YGS – 2

Matematik Denemesi YGS

http://resimalani.com//matematikdenemeleri.png

 

 

 

 

 

 

Denemeyi İndirmek için tıklayınız

Namık KARAYANIK Hocamız a teşekkür ederiz…

Matematik Öğretmeni
MEB Anadolu Lisesi

 

Yukarıdaki dökümanları açabilmek için Adobe Reader ‘ın 5.0 veya üstü sürümünün sisteminizde yüklü olması gerekmektedir.
 

Milli Eğitim Programları

Posted on 20 Eylül 2012Categories 09. Sınıf Geometri, 09. Sınıf Matematik, 10. Sınıf Geometri, 10. Sınıf Matematik, 11. Sınıf Geometri, 11. Sınıf Matematik, 12. Sınıf Geometri, 12. Sınıf Matematik, 6. Sınıf Matematik, 7. Sınıf Matematik, 8. Sınıf Matematik, Bilgiler, Matematik MüfredatlarıTags , , ,   Leave a comment on Milli Eğitim Programları
Öğretim Kademesi Program Adı Detay İndir
İlköğretim Programı Beden Eğitimi Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Bilişim Teknolojileri Dersi (1-8. Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Din Kültürü ve Ahlâk Bilgisi Dersi (4-8. Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Düşünme Eğitimi Dersi(6-8.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Fen ve Teknoloji Dersi(4-5.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Fen veTeknoloji Dersi(6-8.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Görsel Sanatlar Dersi(1-8.Sınıflar) Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Halk Kültürü Dersi(6. Sınıf) Öğretim Programı ve kılavuzu
İlköğretim Programı Halk Kültürü Dersi(7. Sınıf) Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Halk Kültürü Dersi(8. Sınıf) Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Hayat Bilgisi Dersi(1-3.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı İngilizce Dersi(4-8.Sınıflar) Öğretim Programı ile Seçmeli İng. Dersi Öğretim Programı
İlköğretim Programı Matematik Dersi(1-5. Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Matematik Dersi(6-8.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Medya Okuryazarlığı Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Müzik Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Sanat Etkinlikleri Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Satranç Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Sosyal Bilgiler Dersi(4-5. Sınıflar) Öğretim Programı ve Klavuzu
İlköğretim Programı Sosyal Bilgiler Dersi 6 ve 7. Sınıflar Öğretim Programı ve Klavuzu
İlköğretim Programı Spor Etkinlikleri Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı T.C İnkılâp Tarihi ve Atatürkçülük Dersi Öğretim Programı ve Klavuzu
İlköğretim Programı Tarım Dersi(6-8. Sınıflar) Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Teknoloji ve Tasarım Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı İlköğretim Trafik Güvenliği Dersi Öğretim Programı
İlköğretim Programı Türkçe Dersi(1-5. Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Vatandaşlık ve Demokrasi Eğitimi Dersi (8. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Analitik Geometri Dersi (10-11. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Araştırma Teknikleri Dersi (10. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Beden Eğitimi (9-12. Sınıflar) Ögretim Programı
Ortaöğretim Programı Astronomi ve Uzay Bilimleri Dersi (10-11. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Bilgi Kuramı Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Bilgi ve İletişim Teknolojisi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi 9.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Coğrafya Dersi(9-12.Sınıflar) Öğretim Programı(Değişiklik)
Ortaöğretim Programı Çağdaş Türk ve Dünya tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Dil ve Anlatım Dersi (9-12.Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Din Kültürü ve Ahlak Bilgisi Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ekonomi Dersi Öğretim Programı ve Kurul Kararı
Ortaöğretim Programı Felsefe Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fen Bilimleri Dersi (9-10. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fizik Dersi 10.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fizik Dersi 11.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fizik Dersi 12. Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fizik Dersi 9.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Geometri Dersi (11. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Geometri Dersi (9-10. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Girişimcilik Dersi Öğretim Programı ve Kurul Kararı
Ortaöğretim Programı Görsel Sanatlar Dersi (9-12.Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim İngilizce Dersi (Hazırlık, 9-12. Sınıflar) Öğretim Programları
Ortaöğretim Programı İstatistik Dersi (11. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı İşletme Dersi Öğretim Programı ve Kurul Kararı
Ortaöğretim Programı İtalyanca Dersi(Hazırlık, 9, 10 ve 11. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Mantık Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Matematik Dersi (9-12.Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Müzik Dersi(9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Proje Hazırlama Dersi Öğretim Programı(25.09.2006/371 sayılı Kurul Kararı)
Ortaöğretim Programı Psikoloji Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Sağlık Bilgisi Dersi (9. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim Sanat Tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Sosyal Etkinlik Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Sosyoloji Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı T. C. İnkılap Tarihi ve Atatürkçülük Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Tarih Dersi 10.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Tarih Dersi 11. Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Tarih Dersi 9.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Trafik ve İlkyardım (12. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Edebiyatı (9-12.Sınıflar) Dersi Programı
Ortaöğretim Programı Uluslararası Bakalorya Bilgi Kuramı Dersi Öğretim Programı(23.10.2000/389 sayılı Kurul Kararı)
Ortaöğretim Programı Uluslararası İlişkiler Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Yönetim Bilimi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kanun Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Antrenman Bilgisi
Ortaöğretim Programı Bağlama Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Batı Müziği Koro Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Batı Müziği Tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Beden Eğitimi Bilimine Giriş
Ortaöğretim Programı Beden Eğitimi ve Spor Tarihi
Ortaöğretim Programı Bilişim Destekli Müzik Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Bireysel Ses Eğitimi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Çağdaş Dünya Sanatı Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Çalgı Bakım ve Onarımı Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Desen Çalışmaları Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Eğitsel Oyunlar
Ortaöğretim Programı Estetik Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Flüt Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Geleneksel Türk Müziği Tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Gitar Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Grafik Tasarım Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı İki Boyutlu Sanat Atölye Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı İnsan Anatomisi
Ortaöğretim Programı Keman Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kontrbas Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Eğitimi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Müziğe Giriş Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Müzik Biçimleri Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Müziksel İşitme, Okuma ve Yazma Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Özel Alan Bilgisi
Ortaöğretim Programı Piyano Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ritim Eğitimi ve Dans
Ortaöğretim Programı Sanat Eserlerini İnceleme Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Sanat Tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Spor Dersi
Ortaöğretim Programı Spor Fizyolojisi
Ortaöğretim Programı Spor Kazalarından Korunma
Ortaöğretim Programı Spor Masajı
Ortaöğretim Programı Spor Organizasyonu
Ortaöğretim Programı Spor Psikolojisi
Ortaöğretim Programı Spor Sosyolojisi
Ortaöğretim Programı Spor Tesisleri ve Malzeme Bilgisi
Ortaöğretim Programı Spor ve Beslenme
Ortaöğretim Programı Temel Spor Eğitimi
Ortaöğretim Programı Türk Müziği Koro Eğitimi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Resim, Heykel Sanatı Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Spor Tarihi
Ortaöğretim Programı Ut Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Üç Boyutlu Sanat Atölye Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Viyola Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Viyolonsel Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Eğitim Psikoloji Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Eğitim Sosyolojisi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Öğretim İlke ve Yöntemleri Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Öğretmenlik Mesleğine Giriş Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Eğitim Tarihi Dersi Öğretim Programı
İlköğretim Programı Türkçe 6-8. Sınıflar Öğretim Programı ve Klavuzu
İlköğretim Programı Almanca (4-8.Sınıflar) Dersi Kurul Kararı ve Öğretim Programı
İlköğretim Programı Fransızca (4-8.Sınıflar) Dersi Kurul Kararı ve Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim Rehberlik ve Yönlendirme Dersi (9-12. Sınıflar) Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (10. Sınıf 2 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (10. Sınıf 3 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (11. Sınıf 2 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (11. Sınıf 4 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (12. Sınıf 2 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (12. Sınıf 3 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim Fransızca Dersi (Hazırlık, 9-12. Sınıflar) Öğretim Programları
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim Almanca Dersi (Hazırlık, 9-12. Sınıflar) Öğretim Programları
Ortaöğretim Programı Sosyal Bilimler Lisesi Osmanlı Türkçesi Dersi (10,11 ve 12. Sınıflar) Öğretim Programları
İlköğretim Programı Arapça (4-8.Sınıflar) Dersi Kurul Kararı ve Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (9. sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (10.sınıf 2saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (10. sınıf 3 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (11. sınıf 2 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (11. sınıf 4 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (12. sınıf 2 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (12. sınıf 3 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Geometri Desi (12. Sınıflar) Öğretim Progamı
Ortaöğretim Programı Batı Müziği Çalgı Toplulukları (11. ve 12. sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Drama Dersi (10. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Müziği Çalgı Toplulukları
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim 1, 2 ve 3. Yabancı Dil Arapça Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı ve Kurul Kararı
Okul Öncesi Eğitim Programı Okul Öncesi Eğitim Programı
Okul Öncesi Eğitim Programı 0-36 Aylık Çocuklar İçin Eğitim Programı
Ortaokul Programı Kur´an-ı Kerim Dersi (5-8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Hz. Muhammed´in Hayatı Dersi (5-8. Sınıflar) Öğretim Programı
İlkokul Programı Oyun ve Fiziki Etkinlikler Dersi Öğretim Programı (İlkokul 1-4. Sınıflar)
Ortaöğretim Programı Hz. Muhammed´in Hayatı Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kur´an-ı Kerim Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Matematik Uygulamaları Dersi(5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Yaşayan Diller ve Lehçeler Dersi (Kürtçe; 5. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Yaşayan Diller ve Lehçeler Dersi (Adiğece ve Abazaca; 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Yazarlık ve Yazma Becerileri Dersi ( 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Bilişim Teknolojileri ve Yazılım Dersi ( 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Temel Dinî Bilgiler Dersi ( İslam, 1-2) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Temel Dinî Bilgiler Dersi (İslam; 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı (İmam Hatip Ortaokulu)
Ortaöğretim Programı Temel Dinî Bilgiler Dersi (İslam, 1-2) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Drama Dersi (5 ve 6. Sınıflar) Öğretim Programı

 

İşçi Havuz Problemleri – Çıkmış Sorular

Posted on 03 Mayıs 2012Categories 12. Sınıf Matematik, İşçi - Havuz Problemleri, Matematik Konuları, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları Oku, YGS Matematik Videolu Soru Çözümleri, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , , ,   Leave a comment on İşçi Havuz Problemleri – Çıkmış Sorular

İşçi Havuz Problemleri

 
(2000  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

Continue reading “İşçi Havuz Problemleri – Çıkmış Sorular”

Faiz ve Karışım – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Posted on 03 Mayıs 201203 Mayıs 2012Categories 12. Sınıf Matematik, Faiz Problemleri, Karışım Problemleri, Matematik Konuları, YGS Matematik, YGS Matematik Konuları Oku, YGS Matematik Videolu Soru Çözümleri, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , ,   Leave a comment on Faiz ve Karışım – Çıkmış Soru ve Çözümleri

Faiz ve Karışım

(1990  –  2011)

Konularına Göre

Çıkmış Son 10 yılın Soru ve Çözümleri

Continue reading “Faiz ve Karışım – Çıkmış Soru ve Çözümleri”

2012 YGS Sorularının Videolu Çözümleri

Posted on 01 Nisan 201201 Nisan 2012Categories 12. Sınıf Geometri, 12. Sınıf Matematik, YGS Matematik, YGS Matematik Videolu Soru Çözümleri, YGS-LYS Çıkmış Soru ve ÇözümleriTags , , , , , 2012 YGS Sorularının Videolu Çözümleri için 2 yorum

2012 YGS Sorularının Videolu Çözümleri için konunun devamını okuyunuz

Continue reading “2012 YGS Sorularının Videolu Çözümleri”

Töder YGS Deneme Sınavı

Posted on 21 Mart 2012Categories 12. Sınıf Matematik, YGS Deneme SınavlarıTags , , , , , , ,   Leave a comment on Töder YGS Deneme Sınavı
http://resimalani.com//ygslysdenemeleri.jpg

 

Tüm Hakları TODER Yayınlarına Aittir. Hak ihlalinde iletişimden bize lütfen bildiriniz.
Bu içerik matematikcafe.net sitesinden alıntı yapılmıştır..

http://www.matematikcafe.net/k-t%C3%B6der-2011-2012-1-ygs-deneme-s%C4%B1nav%C4%B1-soru-kitap%C3%A7%C4%B1%C4%9F%C4%B1-ve-cevap-anahtar%C4%B1.html

Yasal Uyarı İçin tıklayınız 

Üslü Sayılar İzle

Posted on 23 Ocak 201210 Aralık 2013Categories 09. Sınıf Matematik, 12. Sınıf Matematik, KPSS, Matematik Konuları, Üslü SayılarTags , , , , , , , , , , , , , Üslü Sayılar İzle için bir yorum

Üslü Sayılar Konusunu
Mustafa Ekol,
Lütfi Zorlu,
Detay Hoca,
Nüsret Hoca,
İbrahim Turan Başay
değerli Hocalarımızdan izlebilirsiniz

Continue reading “Üslü Sayılar İzle”

İntegral Uygulamaları

Posted on 07 Ocak 201224 Ocak 2014Categories 12. Sınıf Matematik, İntegral, İntegral Uygulamaları, LYS Matematik Konularını OkuTags , ,   Leave a comment on İntegral Uygulamaları

Bu kO

Benzerlik – Video

Çokgenler – Video


A. İNTEGRAL İLE ALAN ARASINDAKİ İLİŞKİ

Aşağıdaki şekilde y = f(x) eğrisi y = g(x) eğrisi x = a ve x = b doğrusu arasında kalan taralı bölge verilmiştir.

      

Bölge (ya da eğriler) hangi konumda olursa olsun, yukarıdaki eğrinin denkleminden aşağıdaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla oluşan belirli integral, bölgenin alanını ifade etmektedir.

Bu sayfadan sonraki sayfada verilen şekilde x = f(y) eğrisi x = g(y) eğrisi y = a ve y = b doğrusu arasında kalan taralı bölge verilmiştir.

      

Bölge (ya da eğriler) hangi konumda olursa olsun, sağdaki eğrinin denkleminden soldaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla oluşan belirli integral, bölgenin alanını ifade etmektedir.

Kural

 1. Hangi konumda olursa olsun, alan daima pozitif bir reel sayı ile ifade edilir. 2. Belirli integralin değeri bir reel sayıdır.

 3. İntegral ile alan ilişkilendirilirken,

 a. Alan x ekseninin üst kısmındaysa, alanı ifade eden sayı integrali de ifade eder.

 b. Alan x ekseninin alt kısmındaysa, alanı ifade eden sayının toplama işlemine göre tersi integrali ifade eder.

 

Kural

 y = f(x) parabolünün tepe noktasının apsisi r ordinatı
k; x = f(y) parabolünün tepe noktasının apsisi n ordinatı m dir.

  Yukarıda solda verilen parabolde taralı alan,

Yukarıda sağda verilen parabolde taralı alan,

  

 Yandaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Taralı alan,

Bu kurallar bütün paraboller için geçerlidir.

 

Kural

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

      

 

 

B. İNTEGRAL İLE HACİM ARASINDAKİ İLİŞKİ

Kural

y = f(x) eğrisi,x = a, x = b doğruları ve x ekseni ile sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

 

Kural

x = g(y) eğrisi,y = c, y = d ve y ekseni tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) y ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

 

Kural

y = g(x) eğrisi,x = a, x = b ve y = f(x) tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

 

Kural

x = f(y) eğrisi,y = c, y = d ve x = g(y) tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) y ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

 

 

Bu Konuyu İzle

 

 

  Detay Hocamız

{vimeo}21958802{/vimeo}

{vimeo}21959439{/vimeo}

{vimeo}21959731{/vimeo}

ust

 

 

 

 

 

 

 

 

  Lütfü Hocamız

 

{vimeo}1877895{/vimeo}

{vimeo}1032093{/vimeo}

{vimeo}916643{/vimeo}

{vimeo}919166{/vimeo}

ust

 

 

 

 

 

 

Nejdet Hocamız

{vimeo}3847019{/vimeo}

{vimeo}3850739{/vimeo}

 

ust

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tekin Hocamız

{vimeo}10944006{/vimeo}

{vimeo}17742686{/vimeo}

{vimeo}6227829{/vimeo}

{vimeo}6246859{/vimeo}

 

ust

 

 

 

 

  Ekol Hocamız

 

ders 1

Ekol Hoca İzle

ders 2

Ekol Hoca İzle

ders 3

Ekol Hoca İzle

ust

 

 

Çokgenler – Video


Belirsiz İntegral

Posted on 07 Ocak 201207 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, Belirsiz İntegral, LYS Matematik Konularını OkuTags , , , , , , ,   Leave a comment on Belirsiz İntegral

BELİRSİZ İNTEGRAL

 

A. DİFERANSİYEL KAVRAMI

x in sonsuz küçük değişimi dx şeklinde gösterilir. Buna x değişkeninin diferansiyeli denir.

Fonksiyondaki değişim dy ile gösterilir.

dy = f'(x)dx ifadesine y = f(x) fonksiyonunun diferansiyeli denir.

 

B. BELİRSİZ İNTEGRAL

Türevi f(x) veya diferansiyeli f(x)dx olan F(x) fonksiyonuna f(x) in belirsiz integrali denir ve

     

şeklinde gösterilir.

sembolüne integral işareti, f(x) fonksiyonundan F(x) + c fonksiyonunun bulunmasını sağlayan işleme integral alma işlemi,

F(x) + c fonksiyonuna da f(x) in ilkel fonksiyonu denir.

 

Uyarı

f(x) in integralini bulmak, türevi f(x) e eşit olan fonksiyonu bulmaktır.

 

 

C. İNTEGRAL ALMA KURALLARI

Kural

n ¹ 0 olmak üzere,

     

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

 

D. İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ

1. Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegrali alınan fonksiyon f(u)du gibi daha basit bir ifadeye dönüştürülerek integral alınır.

 

Kural

n ¹ –1 olmak üzere,

 

Kural

 

Kural

den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için, x = a × sint değişken değiştirmesi yapılır.

 

Kural

den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için, değişken değiştirmesi yapılır.

 

Kural

den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için,x = a × tant

değişken değiştirmesi yapılır.

 

Kural

köklü ifadelerini içeren fonksiyonların integrallerini hesaplamak içinE.k.o.k.(m, n) = p

olmak üzere,

ax + b = tp

değişken değiştirmesi yapılır.

 

 

2. Kısmî İntegrasyon Yöntemi

u = f(x)

v = g(x)

olsun. u × v nin diferansiyeli,

d(u × v) = du × v + dv × u

olur. Buradan,

u × dv = d(u × v) – v × du

olur. Her iki tarafın integrali alınırsa,

Uyarı

Kısmî integralde u nun ve dv nin doğru seçilmesi çok önemlidir. Seçim doğru yapılmazsa, çözüme yaklaşmak yerine, çözümden uzaklaşılır.Türev ve integral alma bilgileri ışığında, seçim sezgisel olarak yapılabilir. Ancak, kolaylık sağlayacağı için aşağıdaki kuralı göz önüne alabilirsiniz.

 

Kural

      integrallerinde;

seçimi yapılır.

seçimi yapılır.

 

Sonuç

  n bir doğal sayı olmak üzere,

f(x) bir polinom fonksiyon olmak üzere,

 

 

3. Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi

P(x) ve Q(x) ortak çarpanı olmayan iki polinom olsun.

integrali, vereceğimiz iki yöntemden biriyle sonuçlandırılır.

 

a. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise;

P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise P(x), Q(x) e bölünür.

b. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçük ise;

P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçükse ifade basit kesirlere ayrılır.

 

4. Trigonometrik Özdeşliklerden Yararlanarak İntegral Alma Yöntemi

Kural

sin x ve cos x in çift kuvvetlerinin çarpımı biçimindeki integrallerde şu iki özdeşlik kullanılır:

 

Kural

     

biçimindeki integralleri aşağıdaki özdeşlikler yardımıyla sonuçlandırırız.

     

 

Fonksiyonların Grafikleri

Posted on 07 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, Fonksiyonların Grafikleri, LYS Matematik Konularını OkuTags , , , , , , , , ,   Leave a comment on Fonksiyonların Grafikleri

GRAFİKLER

 

GRAFİKLER

y = f(x) fonksiyonunun analitik düzlemdeki (dik koordinat sistemindeki) görüntüsü olan noktalara, fonksiyonun grafiği denir.

Eğriyi ortaya koyan özel noktalar:

x eksenini kesim noktaları

y eksenini kesim noktaları

Ekstremum noktaları

Dönme noktaları

Asimptotlar

Eğrinin karakterini belirleyen özellikler:

Tanım aralığı (kümesi)

Artan ya da azalan olduğu aralıklar

Eğrilik yönünün yukarı ya da aşağı olduğu aralıklar

Bütün eğriler asimptot oluşturmaz. Diğer bir ifadeyle, bazı eğrilerin bir ya da birkaç asimptotu olabilir.

Grafik çizme zaman alan bir iş olduğu için, test sınavlarında grafik çizmeye gerek duymadan sonuca gidilebilir. Bunun yolu da eğrinin özel noktaları ya da karakteri göz önüne alınarak, seçenekleri elemektir.

 

GRAFİK ÇİZME STRATEJİSİ

1. Fonksiyonun tanım aralığı belirlenir.

2. Fonksiyon bir kapalı aralıkta tanımlıysa, uç noktalardaki değerleri hesaplanır.

3. Eğer periyodik ise, fonksiyonun periyodu bulunur. Esas periyotta çizim yapılır; diğer aralıklarda çizim tekrarlanır.

4. Fonksiyonun tek veya çift olup olmadığına bakılır.

(Çift ise, x ³ 0 için çizim yapılır; oluşan görüntünün Oy eksenine göre, simetriği alınarak, çizim tamamlanır.

Tek ise, x ³ 0 için çizim yapılır; oluşan görüntünün orijine göre, simetriği alınarak, çizim tamamlanır.)

5. Eğrinin eksenleri kestiği noktalar belirlenir.

6. Varsa, asimptotlar belirlenir.

7. Fonksiyon de tanımlıysa, için fonksiyonun limiti hesaplanır.

8. Fonksiyonun birinci türevi alınır. Böylece, fonksiyonun artan ya da azalan olduğu aralıklar belirlenir; ekstremum noktaları hesaplanır.

9. Fonksiyonun ikinci türevi alınır. Böylece, fonksiyonun eğrilik yönünün yukarı ya da aşağı olduğu aralıklar belirlenir; dönme noktaları hesaplanır.

10. Elde edilen bilgilere göre, değişim tablosu yapılır.

11. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir.

Bazı grafiklerin çiziminde, yukarıdaki bilgilerin aynı anda hepsine ihtiyaç duyulmayabilir.

 

A. POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ

Polinom biçimindeki fonksiyonlar (–¥, +¥) aralığında tanımlıdır. Bu fonksiyonların asimptotu olmaz.

f(x) = 0 denkleminin tek katlı köklerinde eğri Ox eksenini keser; çift katlı köklerinde eğri Ox eksenine teğettir.

 

B. ASİMPTOTLAR

Bir eğrinin herhangi bir kolu başka bir eğriye (ya da doğruya) yakınsıyorsa, yakınsanan eğriye (ya da doğruya) asimptot denir.

Asimptotlar kendi özelliğine göre ad alır. Örneğin, düşey bir doğrudan oluşan asimptota, düşey asimptot; yatay bir doğrudan oluşan asimptota, yatay asimptot; düşey ya da yatay olmayan bir doğrudan oluşan asimptota, eğik asimptot; Bir eğriden oluşan asimptota eğri asimptot denir.

 

1. Düşey Asimptot

Eğri; fonksiyonun paydasının köklerinde düşey asimptotlara sahiptir.

olmak üzere, Q(x) = 0 denkleminin kökleri x1, x2, …, xn olsun. y eğrisinin düşey asimptotlarının denklemleri:

x = x1, x = x2, … , x = xn doğrularıdır.

 

2. Yatay Asimptot

olmak üzere, ise yatay asimptot vardır.

Yatay asimptotun denklemi, y = c dir.

Payı ve paydası 1. dereceden olan fonksiyonların simetri merkezi düşey ve yatay asimptotların kesim noktasıdır.

 

3. Eğik Asimptot

denkleminde P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden 1 büyük

 ise eğrisinin bir eğik asimptotu vardır.

Eğik asimptotun denklemi P(x) in Q(x) e bölümüyle bulunur.

 

4. Eğri Asimptot

denkleminde P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden en az 2 büyük ise eğrisinin bir eğri asimptotu vardır. Eğri asimptotun denklemi, P(x) in Q(x) e bölümüyle bulunur.

 

C. RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

    

1. P(x) = 0 denkleminin tek katlı köklerinde kesen oluşur.

   

2. P(x) = 0 denkleminin çift katlı köklerinde teğet oluşur.

   

3. Q(x) = 0 denkleminin tek katlı köklerinde kelebek oluşur.

   

4. Q(x) = 0 denkleminin çift katlı köklerinde baca oluşur.

   

 

D. KÖKLÜ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Kökün derecesinin tek ya da çift oluşuna göre, çizim yapılır.

fonksiyonunda a < 0 ise asimptot yoktur;

a > 0 ise eğik asimptotlar görülür.

Eğik asimptotların denklemi:

     

L Hospital Kuralı

Posted on 07 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, L Hospital Kuralı, LYS Matematik Konularını OkuTags   Leave a comment on L Hospital Kuralı

L’HOSPİTAL KURALI

 

A. L’HOSPİTAL KURALI

Bir fonksiyonun x = a noktasındaki limiti hesaplanırken karşımıza çıkan,

     

belirsizlikleri, belirsizliklerinden birine dönüştürülerek,

L’ Hospital Kuralı yardımıyla sonuçlandırılır.

 

Kural

f ve g, (a, b) aralığında türevlenebilir olsun.

Her x Î (a, b) için g'(x) ¹ 0 ve c Î (a, b) olmak üzere,

Eğer, ise yukarıdaki kural bir

 

daha uygulanır.

 

Uyarı

L’ Hospital kuralında belirsizliğini ortadan

kaldırmak için, yapılan işlemin: Payın türevini paya, paydanın türevini paydaya yazmak olduğuna dikkat ediniz.

 

Kural

¥ × 0 belirsizliğinde,

düzenlemelerinden biriyle sonuca gidilir.

¥¥ belirsizliğinde,

düzenlemesiyle sonuca gidilir.

00¥0 ,  1¥  belirsizliklerinde, tabanında logaritma alınarak sonuca gidilir.

 

Ekstremum Noktaları

Posted on 07 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, Ekstremum Noktaları, LYS Matematik Konularını OkuTags ,   Leave a comment on Ekstremum Noktaları

 

EKSTREMUM PROBLEMLERİ

 

1. Birinci türevin + dan – ye geçtiği noktada, fonksiyonun yerel maksimum değerini aldığını,

2. Birinci türevin – den + ya geçtiği noktada, fonksiyonun yerel minimum değerini aldığını vermiştik.

Bu iki bilgiyi kullanarak, ekstremum problemlerini (Maksimum, minimum problemlerini) çözebiliriz.

Ancak, “Maksimum, minimum problemleri” için, ikinci bir çözüm yolu olarak, ikinci türevi de kullanabiliriz.

Şöyle ki;

1. Birinci türevin kökü, ikinci türevi negatif yapıyorsa, fonksiyon bu noktada yerel maksimum değerini alır.

2. Birinci türevin kökü, ikinci türevi pozitif yapıyorsa, fonksiyon bu noktada yerel minimum değerini alır.

 

EKSTREMUM PROBLEMLERİ

Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun) alabileceği en büyük (maksimum) değer ya da en küçük (minimum) değerin bulunması istenir.

İstenen çokluk bir değişkenin fonksiyonu olarak yazılır. Bu fonksiyonun maksimum ya da minimum değeri, birinci türevin kökü (kökleri) bulunarak belirlenir.

Çünkü, fonksiyonun maksimum ya da minimum noktalarında birinci türev (tanımlıysa) sıfırdır.

 

Uyarı

Çevreleri eşit olan dikdörtgenler içinde alanı en büyük olan dikdörtgen karedir.

Bu durum genellenebilir.

Şöyle ki: Çevreleri eşit olan üçgenler içinde alanı en büyük olan üçgen eşkenar üçgendir; çevreleri eşit olan beşgenler içinde alanı en büyük olan beşgen düzgün beşgendir; çevreleri eşit olan altıgenler içinde alanı en büyük olan altıgen, düzgün altıgendir.

 

Uyarı

Bir çember içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgen karedir.

Bu durum genellenebilir.

Şöyle ki: Bir çember içine çizilebilecek en büyük alanlı üçgen eşkenar üçgendir; beşgen, düzgün beşgendir; altıgen, düzgün altıgendir.

Türev Alma

Posted on 07 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, Türev AlmaTags , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Türev Alma

TÜREV ALMA

 

1. Türevin Tanımı 1

a, b birer reel sayı olmak üzere,

fonksiyonu verilmiş olsun.

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x0 daki türevi denir.

Ve f'(x0), Df(x0) ya da ile gösterilir. Buna göre,

x – x0 = h alınırsa x ® x0 için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

eşitliği de yazılabilir.

 

2. Türevin Tanımı 2

fonksiyonu için,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

 

Sonuç

 1. f'(a+) = f'(a) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.

 2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.

 3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.

 4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

 

Uyarı

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

 

 

TÜREV ALMA KURALLARI

1. xn nin Türevi

     

 

2. c Sabit Sayısının Türevi

     

 

3. c × f(x) in Türevi

     

 

4. Toplamın Türevi

     

 

5. Farkın Türevi

     

 

6. Çarpımın Türevi

     

 

7. Bölümün Türevi

      

 

Sonuç

 

 

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

verilsin. olmak üzere,

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

 

Sonuç

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur.

Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

 

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi

      

 

10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

     

 

11. Bileşke Fonksiyonun Türevi

     

 

Uyarı

f'(2) gösterimi [f(2)]’ gösterimi ile karıştırılmamalıdır.

f'(2) ¹ [f(2)]’ dir.

Çünkü f'(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f'(x)  in x = 2 için değeridir.

[f(2)]’ gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]’ = 0 dır.

 

Kural

 

 

12. Köklü Fonksiyonun Türevi

     

Kural

 

13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi

     

Kural

 

 

14. Üstel Fonksiyonun Türevi

     

Kural

 

 

15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

fonksiyonu şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.

 

16. Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.

x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fx ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fy ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:

 

17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

     

 

18. Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi olmak üzere,

f'(x) in türevi olan ifadesine

y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.

Benzer şekilde, ifadesine de y = f(x) in n.

mertebeden türevi denir.

 

Kural

 

 

19. Ters Fonksiyonların Türevi

f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

     

 

Kural

Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.

 

 

TÜREVİN ANLAMI

 

A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI

Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,

     

fonksiyonu ile verilsin.

Hareketlinin t anındaki hızı:

     

 

ve t anındaki ivmesi

     

 

olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.

 

B. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

     

y = f(x) fonksiyonunun A(x0, y0) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için:

      m = tana dır.

 

Kural

y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi

A(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir.

f'(x0) = m = tana dır.

 

Kural

Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi,

     

 

olur.

 

Kural

Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi:

     

 

Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi,

 

 

C. ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR

1. Artan Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x1, x2 Î B için,

x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır.

 

2. Azalan Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x1, x2 Î B için,

x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır.

 

Uyarı

Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

 

 

3. Sabit Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x1, x2 Î B için, f(x1) = f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde sabittir.

 

D. EKSTREMUM DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ

1. Ekstremum Noktalar

bir fonksiyon ve
a, b Î A olsun.

Her x Î (a, b) için,

     

olacak şekilde bir

p Î (a, b) varsa, f(p) ye yerel maksimum denir.

 

Her x Î A için,

olacak şekilde bir p Î A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer denir.

bir fonksiyon ve a, b Î A olsun.

Her x Î (a, b) için,

olacak şekilde bir r Î (a, b) varsa, f(r) ye yerel minimum değer denir.

 

Her x Î A için,

olacak şekilde bir r Î A varsa, f(r) ye mutlak minimum değer denir.

 

Tanım

Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir.

 

Kural

Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir.

 

 

2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

h > 0 olmak üzere,

ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.

 

h > 0 olmak üzere,

ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir.

 

Yerel minimum değer, f(x0) dır.

 

Uyarı

Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.

 

Sonuç

Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir.

Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin – den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan – ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.

 

 

3. İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

Kural

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır.

 

Kural

      

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır.

 

 

E. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

1. Konveks Eğriler

f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

[a, b] aralığında f”(x) > 0 ise, f nin grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin yukarısındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.

 

 

2. Konkav Eğriler

f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

a, b] aralığında f”(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.

 

 

3. Dönüm (büküm) Noktası

f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.

Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.

 

Uyarı

x = x0 noktasının dönüm noktası olması, x = x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez. Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir.

x = x0 ın ikinci türevin kökü olması, x = x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez. Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir.

x = x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev tanımlı ise, ikinci türev sıfırdır.

 

Uyarı

     

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir.

 1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır.
Bu aralıkta f'(x) < 0 dır.

 2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f'(x) > 0 dır.

 3. a < x < c için f”(x) > 0 dır.

 4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f'(b) = 0 ve f'(d) = 0 dır.

 5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle,
f”(c) = 0 dır.

Limit ve Süreklilik

Posted on 07 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, Limit ve Süreklilik, LYS Matematik Konularını OkuTags , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Limit ve Süreklilik

LİMİT ve SÜREKLİLİK

 

I. LİMİT

A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA

x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir.

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir.

 

B. LİMİT KAVRAMI

Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:

     

 

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1), … noktalarını göz önüne alalım:

Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4, … giderek a ya yaklaşırken, ordinatları

f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1, … giderek b ye yaklaşır.

Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,

f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve

     

 

şeklinde gösterilir.

Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan

E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) , … noktalarını göz önüne alalım.

Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 , … giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 , … giderek d ye yaklaşır.

Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.” şeklinde ifade edebiliriz.

Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve

     

 

biçiminde gösterilir.

 

Kural

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise,

     

biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir.

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur.

 

 

C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT

     

f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.

Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,

     

 

Kural

 

 

D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

Özellik

f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun.

 

Özellik

 

 

Özellik

 

Özellik

 

Özellik

 

 

Özellik

 

 

E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ

Özellik

 

 

 

F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

f(x) = sgn [g(x)] olsun.

 

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.

Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir.

 

 

G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

     

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.

Söz gelimi, fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.

 

 

 

H. NİN x = a DAKİ LİMİTİ

Özellik

 

 

I. TRİGONOMETRİK  FONKSİYONLARIN LİMİTİ

1. sinx in ve cosx in limiti

sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

     

 

olur.

 

2. tanx in limiti

tanx fonksiyonu olmak üzere,

koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

     

 

olur.

 

Sonuç

 

 

 

3. cotx in limiti

cotx fonksiyonu olmak üzere, koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

     

 

olur.

 

Sonuç

 

 

 

J. BELİRSİZLİK DURUMLARI

     

belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.

 

Kural

 

 

Kural

m, n Î N olmak üzere,

olur.

 

Kural

a > 0 olmak üzere, ¥¥ belirsizliği olan limitler,

 

kuralını kullanarak hesaplanabilir.

 

Kural

     

Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği veya belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir.

 

Kural

 

 

II. SÜREKLİLİK

Kural

     

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir.

 

 

Sonuç

y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,

     

 

Uyarı

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir.

 

Kural

 1. Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir.

 2. Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir.

 3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir.

 

Özel Tanımlı Fonksiyonlar

Posted on 07 Ocak 201207 Ocak 2012Categories 12. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, Özel Tanımlı FonksiyonlarTags , , , , ,   Leave a comment on Özel Tanımlı Fonksiyonlar

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

 

A. BİR FONKSİYONUN TANIM KÜMESİ

Kuralı verilmiş bir fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş reel sayı kümesine o fonksiyonun tanım kümesi (tanım aralığı) denir.

 

1. Polinom Fonksiyonun Tanım Kümesi

f(x) = an xn + an – 1 xn – 1 + …+ a1x + a0

şeklindeki reel katsayılı polinom fonksiyonları bütün reel sayılar için tanımlıdır.

Tanım kümesi A ile gösterilirse, polinom fonksiyonlarının tanım kümesi olur.

 

2. Rasyonel Fonksiyonların Tanım Kümesi

şeklindeki rasyonel fonksiyonlar

Q(x) = 0 için tanımsızdır.

Q(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi (tanım aralığı) olur.

 

3. Çift Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere, şeklindeki fonksiyonlar g(x) ³ 0 için tanımlıdır.

g(x) ³ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi A = B dir.

 

4. Tek Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere,

     

fonksiyonu, g(x) in tanımlı olduğu her yerde tanımlıdır. g(x) in tanım kümesi B ise f(x) in tanım kümesi (aralığı) A = B dir.

 

B. PARÇALI FONKSİYONLAR

Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar adı verilir.

 

C. MUTLAK DEĞER FONKSİYONU

f : A ® B fonksiyonu reel değerli bir fonksiyon olsun.

şeklinde tanımlanan |f| fonksiyonuna f fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Kural

Mutlak değerin tanımına göre, f(x) in negatif olmadığı yerde |f(x)| in grafiği f(x) in grafiği ile aynıdır. f(x) in negatif olduğu yerde |f(x)| in grafiği f(x) in grafiğinin Ox eksenine göre simetriğidir.Bu durumda, y = |f(x)| in grafiğini iki adımda çizebiliriz.

1. Adım: y = f(x) in grafiği çizilir.

2. Adım : Ox ekseninin üst tarafında kalan eğri aynen bırakılır. Ox ekseninin altında kalan kısmın Ox eksenine göre simetriği alınır.

 

 

D. İŞARET FONKSİYONU

den ye bir fonksiyon olmak üzere,

     

şeklinde tanımlanan fonksiyona f nin işaret fonksiyonu denir.

 

E. TAM DEĞER FONKSİYONU

1. Tam Değer Kavramı

x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya x in tam değeri denir ve ile gösterilir. x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayı t ise,

     

olur.

 

2. Tam Değer Fonksiyonu

     

şeklinde tanımlanan fonksiyona tam değer fonksiyonu denir.

 

Kural