Milli Eğitim Programları

Posted on 20 Eylül 2012Categories 09. Sınıf Geometri, 09. Sınıf Matematik, 10. Sınıf Geometri, 10. Sınıf Matematik, 11. Sınıf Geometri, 11. Sınıf Matematik, 12. Sınıf Geometri, 12. Sınıf Matematik, 6. Sınıf Matematik, 7. Sınıf Matematik, 8. Sınıf Matematik, Bilgiler, Matematik MüfredatlarıTags , , ,   Leave a comment on Milli Eğitim Programları

Öğretim Kademesi Program Adı Detay İndir
İlköğretim Programı Beden Eğitimi Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Bilişim Teknolojileri Dersi (1-8. Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Din Kültürü ve Ahlâk Bilgisi Dersi (4-8. Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Düşünme Eğitimi Dersi(6-8.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Fen ve Teknoloji Dersi(4-5.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Fen veTeknoloji Dersi(6-8.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Görsel Sanatlar Dersi(1-8.Sınıflar) Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Halk Kültürü Dersi(6. Sınıf) Öğretim Programı ve kılavuzu
İlköğretim Programı Halk Kültürü Dersi(7. Sınıf) Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Halk Kültürü Dersi(8. Sınıf) Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Hayat Bilgisi Dersi(1-3.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı İngilizce Dersi(4-8.Sınıflar) Öğretim Programı ile Seçmeli İng. Dersi Öğretim Programı
İlköğretim Programı Matematik Dersi(1-5. Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Matematik Dersi(6-8.Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Medya Okuryazarlığı Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Müzik Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Sanat Etkinlikleri Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Satranç Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Sosyal Bilgiler Dersi(4-5. Sınıflar) Öğretim Programı ve Klavuzu
İlköğretim Programı Sosyal Bilgiler Dersi 6 ve 7. Sınıflar Öğretim Programı ve Klavuzu
İlköğretim Programı Spor Etkinlikleri Dersi(1-8 Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı T.C İnkılâp Tarihi ve Atatürkçülük Dersi Öğretim Programı ve Klavuzu
İlköğretim Programı Tarım Dersi(6-8. Sınıflar) Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı Teknoloji ve Tasarım Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu
İlköğretim Programı İlköğretim Trafik Güvenliği Dersi Öğretim Programı
İlköğretim Programı Türkçe Dersi(1-5. Sınıflar) Öğretim Programı
İlköğretim Programı Vatandaşlık ve Demokrasi Eğitimi Dersi (8. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Analitik Geometri Dersi (10-11. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Araştırma Teknikleri Dersi (10. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Beden Eğitimi (9-12. Sınıflar) Ögretim Programı
Ortaöğretim Programı Astronomi ve Uzay Bilimleri Dersi (10-11. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Bilgi Kuramı Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Bilgi ve İletişim Teknolojisi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi 9.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Coğrafya Dersi(9-12.Sınıflar) Öğretim Programı(Değişiklik)
Ortaöğretim Programı Çağdaş Türk ve Dünya tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Dil ve Anlatım Dersi (9-12.Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Din Kültürü ve Ahlak Bilgisi Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ekonomi Dersi Öğretim Programı ve Kurul Kararı
Ortaöğretim Programı Felsefe Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fen Bilimleri Dersi (9-10. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fizik Dersi 10.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fizik Dersi 11.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fizik Dersi 12. Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Fizik Dersi 9.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Geometri Dersi (11. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Geometri Dersi (9-10. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Girişimcilik Dersi Öğretim Programı ve Kurul Kararı
Ortaöğretim Programı Görsel Sanatlar Dersi (9-12.Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim İngilizce Dersi (Hazırlık, 9-12. Sınıflar) Öğretim Programları
Ortaöğretim Programı İstatistik Dersi (11. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı İşletme Dersi Öğretim Programı ve Kurul Kararı
Ortaöğretim Programı İtalyanca Dersi(Hazırlık, 9, 10 ve 11. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Mantık Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Matematik Dersi (9-12.Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Müzik Dersi(9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Proje Hazırlama Dersi Öğretim Programı(25.09.2006/371 sayılı Kurul Kararı)
Ortaöğretim Programı Psikoloji Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Sağlık Bilgisi Dersi (9. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim Sanat Tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Sosyal Etkinlik Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Sosyoloji Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı T. C. İnkılap Tarihi ve Atatürkçülük Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Tarih Dersi 10.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Tarih Dersi 11. Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Tarih Dersi 9.Sınıf Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Trafik ve İlkyardım (12. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Edebiyatı (9-12.Sınıflar) Dersi Programı
Ortaöğretim Programı Uluslararası Bakalorya Bilgi Kuramı Dersi Öğretim Programı(23.10.2000/389 sayılı Kurul Kararı)
Ortaöğretim Programı Uluslararası İlişkiler Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Yönetim Bilimi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kanun Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Antrenman Bilgisi
Ortaöğretim Programı Bağlama Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Batı Müziği Koro Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Batı Müziği Tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Beden Eğitimi Bilimine Giriş
Ortaöğretim Programı Beden Eğitimi ve Spor Tarihi
Ortaöğretim Programı Bilişim Destekli Müzik Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Bireysel Ses Eğitimi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Çağdaş Dünya Sanatı Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Çalgı Bakım ve Onarımı Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Desen Çalışmaları Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Eğitsel Oyunlar
Ortaöğretim Programı Estetik Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Flüt Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Geleneksel Türk Müziği Tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Gitar Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Grafik Tasarım Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı İki Boyutlu Sanat Atölye Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı İnsan Anatomisi
Ortaöğretim Programı Keman Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kontrbas Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Eğitimi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Müziğe Giriş Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Müzik Biçimleri Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Müziksel İşitme, Okuma ve Yazma Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Özel Alan Bilgisi
Ortaöğretim Programı Piyano Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ritim Eğitimi ve Dans
Ortaöğretim Programı Sanat Eserlerini İnceleme Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Sanat Tarihi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Spor Dersi
Ortaöğretim Programı Spor Fizyolojisi
Ortaöğretim Programı Spor Kazalarından Korunma
Ortaöğretim Programı Spor Masajı
Ortaöğretim Programı Spor Organizasyonu
Ortaöğretim Programı Spor Psikolojisi
Ortaöğretim Programı Spor Sosyolojisi
Ortaöğretim Programı Spor Tesisleri ve Malzeme Bilgisi
Ortaöğretim Programı Spor ve Beslenme
Ortaöğretim Programı Temel Spor Eğitimi
Ortaöğretim Programı Türk Müziği Koro Eğitimi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Resim, Heykel Sanatı Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Spor Tarihi
Ortaöğretim Programı Ut Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Üç Boyutlu Sanat Atölye Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Viyola Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Viyolonsel Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Eğitim Psikoloji Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Eğitim Sosyolojisi Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Öğretim İlke ve Yöntemleri Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Öğretmenlik Mesleğine Giriş Dersi Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Eğitim Tarihi Dersi Öğretim Programı
İlköğretim Programı Türkçe 6-8. Sınıflar Öğretim Programı ve Klavuzu
İlköğretim Programı Almanca (4-8.Sınıflar) Dersi Kurul Kararı ve Öğretim Programı
İlköğretim Programı Fransızca (4-8.Sınıflar) Dersi Kurul Kararı ve Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim Rehberlik ve Yönlendirme Dersi (9-12. Sınıflar) Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (10. Sınıf 2 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (10. Sınıf 3 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (11. Sınıf 2 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (11. Sınıf 4 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (12. Sınıf 2 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Biyoloji Dersi (12. Sınıf 3 ders saati) Öğrtim Programı
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim Fransızca Dersi (Hazırlık, 9-12. Sınıflar) Öğretim Programları
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim Almanca Dersi (Hazırlık, 9-12. Sınıflar) Öğretim Programları
Ortaöğretim Programı Sosyal Bilimler Lisesi Osmanlı Türkçesi Dersi (10,11 ve 12. Sınıflar) Öğretim Programları
İlköğretim Programı Arapça (4-8.Sınıflar) Dersi Kurul Kararı ve Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (9. sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (10.sınıf 2saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (10. sınıf 3 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (11. sınıf 2 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (11. sınıf 4 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (12. sınıf 2 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kimya Dersi (12. sınıf 3 saatlik) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Geometri Desi (12. Sınıflar) Öğretim Progamı
Ortaöğretim Programı Batı Müziği Çalgı Toplulukları (11. ve 12. sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Drama Dersi (10. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Türk Müziği Çalgı Toplulukları
Ortaöğretim Programı Ortaöğretim 1, 2 ve 3. Yabancı Dil Arapça Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı ve Kurul Kararı
Okul Öncesi Eğitim Programı Okul Öncesi Eğitim Programı
Okul Öncesi Eğitim Programı 0-36 Aylık Çocuklar İçin Eğitim Programı
Ortaokul Programı Kur´an-ı Kerim Dersi (5-8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Hz. Muhammed´in Hayatı Dersi (5-8. Sınıflar) Öğretim Programı
İlkokul Programı Oyun ve Fiziki Etkinlikler Dersi Öğretim Programı (İlkokul 1-4. Sınıflar)
Ortaöğretim Programı Hz. Muhammed´in Hayatı Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaöğretim Programı Kur´an-ı Kerim Dersi (9-12. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Matematik Uygulamaları Dersi(5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Yaşayan Diller ve Lehçeler Dersi (Kürtçe; 5. Sınıf) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Yaşayan Diller ve Lehçeler Dersi (Adiğece ve Abazaca; 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Yazarlık ve Yazma Becerileri Dersi ( 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Bilişim Teknolojileri ve Yazılım Dersi ( 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Temel Dinî Bilgiler Dersi ( İslam, 1-2) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Temel Dinî Bilgiler Dersi (İslam; 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı (İmam Hatip Ortaokulu)
Ortaöğretim Programı Temel Dinî Bilgiler Dersi (İslam, 1-2) Öğretim Programı
Ortaokul Programı Drama Dersi (5 ve 6. Sınıflar) Öğretim Programı

 

Matris ve Determinant

Posted on 07 Ocak 201207 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, Matris ve DeterminantTags , , , , , , , , , ,   Leave a comment on Matris ve Determinant

MATRİS ve DETERMİNANT

 

A. MATRİSİN TANIMI

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde
(m tane satır ve n tane sütun) bir
matris denir.

Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

     

 

elemanları, A matrisinin 1. satırını oluşturmaktadır.

 

elemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır.

Burada aij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.

Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

 

B. MATRİS ÇEŞİTLERİ

1. Sıfır Matrisi

Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

 

2. Kare Matrisi

     

Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir.

A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

 

3. Birim Matris

     

Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Yandaki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.

 

C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ

Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

 

D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)

Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.

Bir A matrisinin transpozu AT ya da Ad biçimlerinden biri ile gösterilebilir.

 

 

E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI

Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.

     

 

F. MATRİSLERİN TOPLAMI

Aynı türden matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.

     

 

 

G. MATRİSLERİN FARKI

Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.

     

 

Özellik

 1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır.) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.)

 3. A + O = O + A = A (Sıfır matrisi toplamaya göre birim (etkisiz) elemandır.)

 4. A + (–A) = O (–A matrisi A matrisinin toplamaya göre tersidir.)

 5. (A + B)T = AT + BT

 6. (A – B)T = AT – BT

 7. k × (A + B) = k × A + k × B

 8. k × (A – B) = k × A – k × B

 9. (k + p) × A = k × A + p × A

 10. k × (p × A) = (k × p) × A

 

 

H. İMATRİSİN DETERMİNANTI

A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,
B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.

m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.

Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

 

Özellik

 1. A × B ¹ B × A (Değişme özelliği yoktur. Ancak bazı özel durumlarda eşitlik olabilir.)A × I = I × A

Am × An = Am + n

A–1 × A = A × A–1

 2. A × (B × C) = (A × B) × C (Birleşme özelliği vardır.)

 3. A × (B + C) = A × B + A × C

(B + C) × A = B × A + C × A

  Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliği vardır.

 4. A × B = O ise A = O veya B = O olması gerekmez.

 5. A × I = I × A = A (I matrisi çarpmaya göre etkisiz elemandır.)

 6. A × B = B ise A = I olması gerekmez.

 7. (A × B)T = BT × AT

   (A × B × C)T = CT × BT × AT

 

 

I. KARE MATRİSİN KUVVETİ

A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.

Ayrıca,

olur.

Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir.

Kural

2 × 2 boyutundaki bazı özel matrislerin büyük kuvvetleri karşımıza çıkabilir.Bu özel durumların başlıcaları şunlardır:

 

 

J. MATRİSİN DETERMİNANTI

Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.

A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir.

|A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.

 

Kural

Türü ne olursa olsun, birim matrisin determinantı 1 dir.

 

 

1. Sarrus Kuralı

A = [aij]3×3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.

     

 

3 ´ 3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:

1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.

2. Köşegeni oluşturan a11, a22, a33 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

3. Köşegenin hemen altındaki a21, a32, a13 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

4. Aynı yaklaşımla a31, a12, a23 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T1 olsun

6. Diğer köşegeni oluşturan a13, a22, a31 çarpılır; çarpım sola yazılır.

7. Diğer köşegenin hemen altındaki a23, a32, a11 çarpılır; çarpım sola yazılır.

8. Aynı yaklaşımla a33, a12, a21 çarpılır; çarpım sola yazılır.

9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T2 olsun,

   

 

10. A matrisinin determinantı: detA = T1T2 dir.

 

2. İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste aij elemanının minörü Mij olsun.

aij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):

Kural

matrisi verilsin.Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.

i. satıra göre determinant:

 

j. sütuna göre determinant:

 

 

3. Determinantın Özellikleri

Özellik

Bir satır veya bir sütunun tüm elemanları sıfır olan matrislerin determinantı sıfırdır. Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları eşit olan matrisin determinantı sıfırdır.

Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları orantılı olan matrisin determinantı sıfırdır.

Herhangi iki satır veya iki sütunun yerleri değişirse determinantının işareti değişir.

Bir kare matrisin determinantı ile transpozunun determinantı eşittir.

Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, bu matrislerin determinantları çarpımına eşittir.

det(A × B) = detA × detB

Bir kare matrisin kuvvetinin determinantı, determinantının kuvvetine eşittir.

detAn = (detA)n

Bir kare matrisin çarpmaya göre tersinin determinantı, determinantının tersine eşittir.

     

 

A = [aij|m×n matrisinin k ile çarpımının determinantı,
A nın determinantının kn ile çarpımına eşittir.

 

Bir kare matrisin bir satır ve bir sütunun tüm elemanları
k ile çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı ilk matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir.

Bir matrisin herhangi bir satırını k ile çarpıp diğer bir satıra ekleyince veya herhangi bir sütununu k ile çarpıp diğer bir sütuna ekleyince determinantının değeri değişmez.

Sadece bir satır veya bir sütun elemanları farklı olan matrislerin determinantları toplamı, diğer satır veya sütunları aynı olan ve farklı sütunu farklı sütunların toplamı kadar olan yeni matrisin determinantına eşittir.

 

 

K. EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)

Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.

 

L. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ

a = [Aij]m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A–1 biçiminde gösteririz.

Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

 

Kural

 

Özellik

Seriler

Posted on 07 Ocak 201207 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, SerilerTags , ,   Leave a comment on Seriler

SERİLER

 

A. SERİLER

Tanım

(an) reel terimli bir dizi olmak üzere,

sonsuz toplamına seri denir.

an ye serinin genel terimi denir.

Tanım

Serinin ilk n teriminin toplamı olan,

ifadesine serinin n. kismî toplamı denir.

dizisine serinin kısmî toplamlar dizisi denir.

 

Kural

Bir serinin değeri (toplamı), kısmî toplamlar dizisinin limitine eşittir.

     

 

Tanım

Kısmî toplamlar dizisi yakınsak olan seriye yakınsak seri, kısmî toplamlar dizisi ıraksak olan seriye ıraksak seri denir. serisinin kısmî toplamlar dizisi (Sn) olsun.

 1. (Sn) dizisi ıraksak ise serisi de ıraksaktır.

 2. (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır.

 

Kural

 1. serisi yakınsak ise lim(an) =0 dır. 2. lim(an) = 0 iken yakınsak olmayabilir.

 3. lim(an) ¹ 0 iken ıraksaktır.

 

 

B. ARİTMETİK SERİLER

(an) dizisi bir aritmetik dizi ise,

     

serisine aritmetik seri denir.

Aritmetik serinin n. kismî toplamı:

 

C. GEOMETRİK SERİLER

(an) dizisi bir geometrik dizi ise,

     

serisine geometrik seri denir.

geometrik serisinin n. kismî toplamı:

 

Kural

     geometrik serisinde;|r| ³ 1 ise seri ıraksaktır.

|r| < 1 ise seri yakınsaktır.

Yakınsak ise, serinin toplamı:

 

Diziler

Posted on 07 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, Diziler, LYS Matematik Konularını OkuTags , , ,   Leave a comment on Diziler

A. TANIM

Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi adı verilir.

     

 

fonksiyonununda,

     

 

olduğuna göre,

     

 

biçiminde yazılabilir.

f fonksiyonu (dizisi) genel olarak,

     

 

biçiminde veya kısaca (an) biçiminde gösterilir.

a1, dizinin 1. terimi (ilk terimi);

a2, dizinin 2. terimi;

a3, dizinin 3. terimi;

an, dizinin n. terimi (genel terimi) dir.

 

Uyarı

 1. Genel terimi belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana getirmezler.

 2. Diziler değer kümesine göre adlandırılır. Değer kümesi; reel sayılar kümesi olan dizi reel sayı dizisi, karmaşık sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını alır.

 

 

B. SONLU DİZİ

Tanım kümesi Ak olan dizilere sonlu dizi denir.

 

C. SABİT DİZİ

Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.

 

D. EŞİT DİZİ

Her n pozitif tam sayısı için,

      an = bn

 

ise, (an) ve (bn) dizilerine eşit diziler denir.

 

E. DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER

(an) ve (bn) birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere,

 

F. MONOTON DİZİLER

Genel terimi an olan bir dizide eğer her için,

 

Uyarı

dizisinin monotonluk durumu aşağıdaki şekilde incelenir:

 1. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur.

 Bu durumda,

 a) ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır.

 b) ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır.

 c) ad – bc = 0 ise dizi sabittir.

 2. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizi monoton değildir.

 

 

G. ALT DİZİ

Bir (an) dizisi verilmiş olsun.

(kn) artan bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere, dizisine (an) dizisinin alt dizisi denir ve biçiminde gösterilir.

 

H. DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI

1. Komşuluk

a ve e birer reel sayı ve e > 0 olmak üzere,

     

açık aralığına a nın e (epsilon) komşuluğu denir.

Bu aralığı (kümeyi) T ile gösterirsek,

     

olur.

T kümesi sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir.

     

Uyarı

 1. (an) dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri,

        

      eşitsizliğini sağlar.

 2. (an) dizisinin, a nın e komşuluğu dışındaki terimleri,

      eşitsizliğini sağlar.

 

 

I. YAKINSAK DİZİLER ve IRAKSAK DİZİLER

(an) bir reel sayı dizisi, a sabit bir reel sayı olsun.

Her e pozitif reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda bulunuyorsa, (an) dizisi a ya yakınsıyor denir.

(an) dizisi a sayısına yakınsıyorsa; (an) dizisine yakınsak dizi denir.

Yakınsak olmayan dizilere ıraksak diziler denir.

 

J. DİZİLERİN LİMİTİ

1. Limitin Tanımı

(an) bir reel sayı dizisi olsun.

(an) dizisi sabit bir a reel sayısına yakınsıyor ise, a sayısına (an) dizisinin limiti denir.

      lim(an) = a ya da (an) ® a

biçiminde gösterilir.

 

Kural

 1. (an) dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa, bu dizinin her alt dizisi de a reel sayısına yakınsar. Bunun karşıtı doğru değildir.

 2. Bir dizinin limiti varsa bir tanedir.

 3. olmak üzere, (an) = (c) ise,

          lim(an) = lim(c) = c dir.

     (Her sabit dizi yakınsaktır.)

 

 

2. Limitle İlgili Özellikler

Kural

(an) ve (bn) birer dizi; a, b, c birer reel sayı olmak üzere,

 

 

K. GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ

Reel sayılar kümesine, artı sonsuz (+¥) ve eksi sonsuz (–¥) kavramlarının katılmasıyla elde edilen

      [–¥, +¥]

aralığına (kümesine) genişletilmiş reel sayılar kümesi denir.

 

1. Iraksak Diziler

Kural

 1. Her K reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi (+¥) un K komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti (+¥) dur veya (an) dizisi (+¥) a ıraksar denir.

 2. Her K reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi (–¥) un K komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti (–¥) dur veya (an) dizisi (–¥) a ıraksar denir.

 3. (+¥) a veya (–¥) a ıraksayan dizilere ıraksak diziler denir.

 

2. Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde İşlemler

 

Kural

Dizilerin limitleri bulunurken elde edilen,

ifadeleri belirsizdir.

 

Kural

 

Kural

 

Kural

(an) bir dizi; c bir reel sayı olmak üzere,

 

Kural

(an) bir dizi olmak üzere,

     

 

Uyarı

(1n) sabit dizisi ile dizisi birbirine karıştırılmamalıdır.

 

Uyarı

Genel terimi rasyonel kesir olan dizilerin limitinin hesaplanmasında, aşağıdaki sıralama kullanılır.

    

 

Kural

 

Kural

(an) pozitif terimli bir dizi olsun.

 

 

3. Belirsizlik Durumları

a. Belirsizliği

Bu tür belirsizlikleri daha önce verdiğimiz kural yardımı ile sonuçlandırabiliriz.

 

b.  0 . ¥  Belirsizliği

Bu tür belirsizlikler, belirsizliğine dönüştürülerek limit bulunur.

 

c.  ¥¥  Belirsizliği

¥¥ tipindeki belirsizlikleri cebirsel işlemler yaparak giderebiliriz.

 

Kural

Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, (an) dizisinin payı ve paydası ifadesiyle genişletilir.

 

Uyarı

dizisinde (+¥) – (+¥) belirsizliği vardır.

dizisinde belirsizlik söz konusu

değildir. Bu dizide (+¥) + (+¥) durumu vardır.

(+¥) + (+¥) = +¥

olduğu için, bu dizi +¥ a ıraksar.

 

Kural

a > 0 olmak üzere,

 

olur.

 

 

L. SINIRLI DİZİLER

1. Üst Sınır

Her için, an £ M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa (an) dizisine üstten sınırlıdır denir.

M sayısı da bu dizinin üst sınırı adını alır. M den büyük her reel sayı da (an) dizisinin üst sınırıdır.

Üstten sınırlı bir dizinin üst sınırlarından en küçük olanına dizinin en küçük üst sınırı (Eküs) denir.

(an) dizisinin Eküs ü, Eküs(an) biçiminde gösterilir.

 

2. Alt Sınır

Her için, m £ an olacak şekilde bir m reel sayısı varsa (an) dizisine alttan sınırlıdır denir.

m sayısı da bu dizinin alt sınırı adını alır. m den küçük her reel sayı da (an) dizisinin alt sınırıdır.

Alttan sınırlı bir dizinin alt sınırlarından en büyük olanına dizinin en büyük alt sınırı (Ebas) denir.

(an) dizisinin Ebas ı, Ebas(an) biçiminde gösterilir.

 

3. Sınırlı Diziler

Hem alttan hem de üstten sınırlı olan dizilere, sınırlı diziler denir.

 

Uyarı

 1. Sınırlı bir dizide Eküs ve Ebas dizinin elemanı olmayabilir.

 2. Monoton bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, sınırlı olmasıdır.

 3. Yakınsak her dizi sınırlıdır. Bu ifadenin karşıtı doğru olmayabilir.

 4. Monoton ve yakınsak bir dizinin, ilk terimi ile limitinden; büyük olanı Eküs, küçük olanı Ebas tır.

 

Toplam Çarpım Sembolü

Posted on 07 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, Toplam Çarpım SembolüTags , , ,   Leave a comment on Toplam Çarpım Sembolü

TOPLAM SEMBOLÜ

 

A. TANIM

r ile n birer tam sayı, r £ n olmak üzere,

     

olsun. Bu düşünce ile oluşturulan

     

 

terimlerinin toplamını,

     

 

biçiminde gösteririz. ifadesi “k eşittir r den n ye kadar ak sayılarının toplamı” biçiminde okunur.

Bu gösterimde kullandığımız (sigma) harfine toplam sembolü denir.

 

Kural

 

 

 

C. TOPLAM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ

Özellik

 

Özellik

 

Özellik

Kural

ÇARPIM SEMBOLÜ

 

A. TANIM

r ile n birer tam sayı, olmak üzere,

     

 

terimlerinin çarpımını,

     

 

biçiminde gösteririz. ifadesi “k eşittir r den n ye kadar ak sayılarının çarpımı” biçiminde okunur.

 

B. ÇARPIM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ

Kural

 

 

Kural

 

Kural

 

Özellik

Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık

Posted on 07 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, LYS Matematik Konularını Oku, Permütasyon - Kombinasyon - OlasılıkTags , ,   Leave a comment on Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık

KOMBİNASYON

 

KOMBİNASYON (GRUPLAMA)

olmak koşuluyla, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir.

n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, K(n, r), Crn ya da ile gösterilir.

n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı:

Kural

 

Kural

n Î N olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin;

0 elemanlı alt kümelerinin sayısı :

1 elemanlı alt kümelerinin sayısı :

2 elemanlı alt kümelerinin sayısı: 

. . .

n elemanlı alt kümelerinin sayısı: 

olduğundan tüm alt kümelerinin sayısı:

BİNOM AÇILIMI

 

TANIM

n doğal sayı olmak üzere,

eşitliklerine binom açılımı denir.

sayılarına binom kat sayıları denir.

ifadelerinin her birine terim denir.

ifadesinde kat sayı, xn–1 ile yr terimin çarpanlarıdır.

 

Kural

(x + y)n açılımında n + 1 tane terim vardır.

(x + y)n açılımında her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n sayısına eşittir.

(x + y)n ifadesinin kat sayılarının toplamı x ile y yerine 1 yazılarak,

(1 + 1)n = 2n bulunur.

(x + y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için x ile y yerine 0 yazılır.

(x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan r + 1 inci terim:

(x + y)2n nin açılımındaki ortanca terim:

PERMÜTASYON

 

A. SAYMANIN TEMEL KURALI

1. Toplama Kuralı

Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir.

Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.

olmak üzere,

 

Sonuç

Ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

 

2. Çarpma Kuralı

2 tane elemandan oluşan (a1, a2) ifadesine sıralı ikili denir. Benzer biçimde

(a1, a2, a3) ifadesine sıralı üçlü

(a1, a2, a3, a4) ifadesine sıralı dörtlü

. . .

(a1, a2, a3, … , an) ifadesine sıralı n li denir.

A ve B sonlu iki küme olsun

s(A) = m

s(B) = n

olmak üzere,

s(A × B) = s(A) × s(B) = m × n dir.

A × B kümesi birinci bileşenleri A dan ikinci bileşenleri B den alınan sıralı ikililerden oluşur.

 

Sonuç

İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte

      m × n

yolla yapılabilir.

 

 

B. FAKTÖRİYEL

1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.

 

Sonuç

 

 

C. PERMÜTASYON (SIRALAMA)

r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.

n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı :

 

Sonuç

1.  P(n, n) = n!

2.  P(n, 1) = n

 

 

1. Dairesel (Dönel) Permütasyon

n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir.

Elemanlardan biri sabit tutularak n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n – 1)! ile bulunur.

 

2. Tekrarlı Permütasyon

n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, … , nr tanesi de r. çeşitten olsun.

n = n1 + n2 + … + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

 

OLASILIK

 

A. OLASILIK TERİMLERİ

1. Deney

Bir madeni para atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini, bir zar atıldığında sonucun ne olacağını, tespit etme işlemidir.

2. Sonuç

Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) verilen isimdir. Her bir sonuç bir örnek nokta olarak da adlandırılır.

3. Örnek Uzay

Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümedir. Diğer bir ifadeyle örnek noktaların tamamını eleman kabul eden kümedir. (Örnek uzaya evrensel küme de denir.) Örnek uzay genellikle E ile gösterilir.

4. Olay

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine verilen isimdir.

5. İmkansız Olay

E örnek uzayı için boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.

6. Kesin Olay

E örnek uzayına kesin (mutlak) olay denir.

7. Ayrık Olaylar

A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.

A Ç B = Æ ise A ve B olaylarına ayrık olaylar denir.

 

B. OLASILIK FONKSİYONU

E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme K olsun.

P : K ® [0, 1]

şeklinde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A Î K ise P(A) reel sayısına A olayının olasılığı adı verilir.

P fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlar.

1. Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir.

2. Evrensel kümenin meydana gelme olasılığı, P(E) = 1 dir.

3. İmkansız olayların meydana gelme olasılığı P(Æ) = 0 dır.

4. A Î K, B Î K ve A Ç B = Æ ise, P(A È B) = P(A) + P(B) dir.

 

Kural

E örnek uzayında herhangi iki olay A ve B; A nın tümleyeni A olsun. P olasılık fonksiyonu olmak üzere,

1. A Ì B ise P(A) £ P(B) dir.

2. P(A) = 1 – P(A) dır.

3. P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) dir.

 

 

C. EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY

Sonlu bir E = {e1, e2, e3, … , en} örnek uzayı için,

P(e1) = P(e2) = P(e3) = … = P(en)

ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir.

E, eş olumlu örnek uzayı ve A Î E ise A olayının olasılığı,

dır.

 

Kural

n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, bu deneyde örnek uzay 2n elemanlıdır.

 

 

D. BAĞIMSIZ OLAYLAR VE BAĞIMLI OLAYLAR

A ve B aynı örnek uzayına ait olaylar olsun. Bu olaylardan birinin elde edilmesi diğerinin elde edilmesini etkilemiyorsa A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir. Eğer iki olay bağımsız değilse, bu olaylara birbirlerine bağımlıdır denir.

 

Kural

A ve B bağımsız olaylar olmak koşuluyla

P(A) ¹ 0 ve P(B) ¹ 0 ise,

A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı

P(A Ç B) = P(A) × P(B) dir.

A nın veya B nin gerçekleşme olasılığı

P(A birleşimB) = P(A) + P(B) – P(A kesişim B) dir.

 

 

E. KOŞULLU OLASILIK

A ile B, E örnek uzayında iki olay olsun. P(B) > 0 olmak üzere; B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının olasılığına, A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı veya kısaca A nın B koşullu olasılığı denir ve P(A / B) şeklinde gösterilir.

Logaritma

Posted on 07 Ocak 201209 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, Logaritma, LYS Matematik Konularını OkuTags , , , , ,   Leave a comment on Logaritma

LOGARİTMA

 

I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

2y = 24 eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)

Buraya kadar anlatılan bilgiler 6a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.

 

 

A. ÜSTEL FONKSİYONLAR

olmak üzere,

     

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.

a > 0 olduğundan f(x) = ax > 0 olur.

 

B. LOGARİTMA FONKSİYONU

olmak üzere,

     

biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

     

şeklinde gösterilir. Buna göre,

      dir.

y = logax ifadesinde sayısına sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

 

C. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Kural

1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,

 

Kural

Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

Kural

 

 

D. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = logax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir.

     

1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.

1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.

 

Kural

  x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir.

  0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.

 

 

E. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = logax fonksiyonunda taban

= 2,718281828459045235360287471352… alınırsa ( sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

     

İşlemlerde genellikle logex yerine lnx ifadesi kullanılır.

 

II. LOGARİTMALI DENKLEMLER

Özellik

a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem,

logaf(x) = b ise f(x) = ab dir.

logaf(x) = logag(x) ise f(x) = g(x) dir.

Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.

Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.

 

 

III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Kural

logaf(x) in işareti a ya bağlı olduğundan eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki bilgileri kullanırız.

Karmaşık Sayılar

Posted on 07 Ocak 2012Categories 11. Sınıf Matematik, Karmaşık Sayılar, LYS Matematik Konularını OkuTags , , , , , , ,   Leave a comment on Karmaşık Sayılar

KARMAŞIK SAYILAR

 

I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ

Tanım

sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve

ile gösterilir.

 

Uyarı

a, b pozitif gerçel sayı ve

x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,

 

 

A. i NİN KUVVETLERİ

     

olmak üzere,

i0 = 1 dir.

i1 = i dir.

i2 = –1 dir.

i3 = i2 × i1 = (–1) × i = –i dir.

i4 = i2 × i2 = (–1) × (–1) = 1 dir.

i5 = i4 × i1 = 1 × i = i dir.

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

 

Sonuç

Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,

kalan 0 ise, ix ifadesinin eşiti 1,

kalan 1 ise, ix ifadesinin eşiti i,

kalan 2 ise, ix ifadesinin eşiti –1,

kalan 3 ise, ix ifadesinin eşiti –i dir.

Buna göre, n tam sayı olmak üzere,

i4n= 1,

i4n+1 = i,

i4n+2 = –1,

i4n+3 = –i dir.

 

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve olmak üzere,

z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.

Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir. Buna göre,

z = a + bi karmaşık sayısında;

a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,

b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.

z = a + bi ise

Re(z) = a

İm(z) = b

şeklinde gösterilir.

 

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır.

Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani, dir.

 

 

B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural

 

 

C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

 

 

D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

ve  i2 = –1 olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

z karmaşık sayısının eşleniği ile gösterilir.

Buna göre,

 

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir.

Buna göre,

 

Kural

Reel kat sayılı, ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.

 

 

E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,

dir.

 

 

F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

i2 = –1 olmak üzere,

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

2. Çıkarma İşlemi

      z + (–w) = z – w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i2 = –1 olmak üzere,

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda

 

3. Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

z = a + bi ve w = c + dolsun. Buna göre,

 

Sonuç

i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,

     

 

Kural

i2 = –1 ve n tam sayı olmak üzere,

 

4. Bölme İşlemi

z1 × (z2)–1 sayısına z1 in z2 ye bölümü denir ve biçiminde gösterilir.

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,

z1 = a + bi ve z2 = c + di ise,

 

5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler

z1 ve z2 birer karmaşık sayı olmak üzere,

 

G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK

z = a + bi ve w = c + di  olsun.

      |z – w|

ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.

     

z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,

 

Kural

z, değişen değerler alan bir karmaşık sayı; w sabit bir karmaşık sayı ve r, pozitif reel sayı olmak koşuluyla

      |z – w| = r

eşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.

      |z – w| < r

eşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesini belirtir.

 

 

II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

     

z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının argümenti denir ve

      arg(z) ile gösterilir.

olsun. Bu durumda,

şeklinde gösterilir.

Açının esas ölçüsü olan değere de esas argüment denir. Bu durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den ( radyandan) küçük bir değerdir.

Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,

yazılır. Buradan,

 

Sonuç

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. z nin, mutlak değeri (orijine uzaklığı) |z| = r ve esas argümenti q olmak üzere,

      z = |z| × (cosq + isinq)

biçiminde yazılmasına, z karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir.

z = |z| × (cosq + isinq) ifadesi z = r × cisq biçiminde kısaca gösterilebilir.

 

Tanım

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

Karmaşık sayının mutlak değeri ile argümentinden oluşan sıralı ikiliye bu sayının kutupsal koordinatları denir. z nin kutupsal koordinatları (|z|, q) veya (r, q) biçiminde gösterilir.

 

Kural

     

olmak üzere,

Buna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda,

 

Kural

     

olmak üzere,

     

Buna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda,

     

 

Kural

 

Sonuç

 

Sonuç

     

Buna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2pa dır.

 

Kural

z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun.

arg(z – z0) = q

koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.

 

 

A. ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME

z = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r × cis(q + a) olur. Bu durum,

      v = z × (cosa + isina)

biçiminde de ifade edilebilir.

 

Uyarı

Bir karmaşık sayıyı negatif yönde q derece kadar döndürmek, o sayıyı pozitif yönde 360° – q kadar döndürmektir.

 

 

B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ

olmak üzere,

zn = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.

 

Sonuç

z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları birbirinin toplama işlemine göre tersidir.

Yani, z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları z1 ile z2 ise,

z1 = –z2 dir.

 

Kural

zn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, … , (n – 1) yazılarak bulunur.